（寒假）新高考数学一轮复习考点精讲+巩固训练+随堂检测01 基本不等式（原卷版）.docxVIP

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专题01基本不等式

知识讲解

基本不等式

，当且仅当时取等号

其中叫做正数，的算术平均数，叫做正数，的几何平均数

通常表达为：（积定和最小）

应用条件：“一正，二定，三相等”

基本不等式的推论1

（和定积最大）当且仅当时取等号

基本不等式的推论2

当且仅当时取等号

其他结论

①eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(ab＞0)．

②eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))(a＞0，b＞0)．

③已知a，b，x，y为正实数，

若ax＋by＝1，则有eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝＝a＋b＋eq\f(by,x)＋eq\f(ax,y)≥a＋b＋2eq\r(ab)＝(eq\r(a)＋eq\r(b))2.

若eq\f(a,x)＋eq\f(b,y)＝1，则有x＋y＝＝a＋b＋eq\f(ay,x)＋eq\f(bx,y)≥a＋b＋2eq\r(ab)＝(eq\r(a)＋eq\r(b))2.

注意1．使用基本不等式求最值时，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．

注意2．“当且仅当a＝b时等号成立”的含义是“a＝b”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误．

注意3．连续使用基本不等式求最值，要求每次等号成立的条件一致．

考点一、直接用基本不等式求最值

【例1】已知实数，则的最小值为___________.

【变式1】的最小值为______.

考点二、巧用“1”或常数关系求最值

【例2】若，，，则的最小值为______．

【变式2】已知，且，则的最小值为______．

【变式3】若，且，则的最小值为（????）

A．9B．3C．1D．

考点三、变形为分式的“分母”形式求最值

【例3】已知，则的最小值为（????）

A．8B．9C．10D．11

【变式4】已知，则的最小值是（????）

A．6B．8C．10D．12

【变式5】已知实数，且，则的最小值为___________.

考点四、两次应用基本不等式求最值

【例4】已知实数，满足，则当取得最小值时，的值为（????）

A．1B．C．2D．

【变式6】若，，则的最小值为___________.

考点五、条件等式变形求最值

【例5】若x，y满足，则（????）

A．B．C．D．

【变式7】已知a0，b0，且a+b=1，则（????）

A．B．C．D．

【变式8】已知a，b，c均为正数，且满足，则的最小值为______．

考点六、构造法或换元法求最值

【例6】已知，，，，则的最小值为（????）

A．B．2C．6D．

【变式9】已知正实数x，y满足，则的小值为______．

【变式10】若，，则的最大值为____________．

考点七、利用基本不等式判断或证明不等式关系

【例7】已知实数满足且，则下列不等关系一定正确的是（????）

A．B．C．D．

【变式11】已知，则m，n不可能满足的关系是（????）

A．B．C．D．

考点八、基本不等式多选题综合

【例8】已知为实数，且，则下列不等式正确的是（????）

A．B．C．D．

【变式12】已知正实数a，b满足，则（????）

A．B．C．D．

【基础过关】

1.若正实数，满足．则的最小值为（???）

A．12B．25C．27D．36

2.已知，则的最小值为（????）

A．B．C．D．

3.已知正实数，则“”是“”的（????）

A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件

二、多选题

4．若，则下列不等式对一切满足条件恒成立的是（????）

A．B．C．D．

三、填空题

5.设，，若，则取最小值时a的值为___