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第04讲三角恒等变换(和差公式、倍角公式)

知识讲解

正弦的和差公式

余弦的和差公式

正切的和差公式

正弦的倍角公式

余弦的倍角公式

升幂公式:

降幂公式:

正切的倍角公式

半角公式

(1)sineq\f(α,2)=±eq\r(\f(1-cosα,2)).(2)coseq\f(α,2)=±eq\r(\f(1+cosα,2)).

(3)taneq\f(α,2)=±eq\r(\f(1-cosα,1+cosα))=eq\f(sinα,1+cosα)=eq\f(1-cosα,sinα).

以上称之为半角公式,符号由eq\f(α,2)所在象限决定.

和差化积与积化和差公式

推导公式

辅助角公式

,,其中,

考点一、两角和与差的三角函数综合应用

【例1】若,则(????)

A.B.

C.D.

【变式1】已知,则(????)

A.B.C.D.

【变式2】已知2tanθ–tan(θ+)=7,则tanθ=(????)

A.–2B.–1C.1D.2

考点二、倍角公式的综合应用

【例2】(????)

A.B.C.D.

【变式3】已知=,则的值是.

【变式4】若,则(????)

A.B.C.D.

【变式5】若,则,.

考点三、半角公式的综合应用

【例3】已知为锐角,,则(????).

A.B.C.D.

【变式6】已知,若是第二象限角,则(????)

A.B.C.D.

【变式7】数学里有一种证明方法叫做Proofwithoutwords,也被称为无字证明,是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题,由于这种证明方法的特殊性,无字证时被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理.如下图,点为半圆上一点,,垂足为,记,则由可以直接证明的三角函数公式是(????)

A.B.C.D.

考点四、辅助角公式的综合应用

【例4】若函数的一个零点为,则;.

【变式8】函数的最小正周期和最大值分别是(????)

A.和B.和2C.和D.和2

【变式9】若函数的最大值为2,则常数的一个取值为.

考点五、三角恒等变换的综合应用

【例5】下列化简不正确的是(????)

A.B.

C.D.

【变式10】若,则(????)

A.0B.C.1D.

【变式11】已知为第二象限角,,则(????)

A.B.C.D.

【变式12】函数的最小值为.

【基础过关】

一、单选题

1.设,则等于(????)

A.-2B.2C.-4D.4

2.已知,则(????)

A.B.C.D.

3.已知,,则(????)

A.4B.6C.D.

4.已知直线的倾斜角为,则(????)

A.-3B.C.D.

5.若,,则(????)

A.1B.C.D.

6.已知,,则(????)

A.B.C.D.

7.已知锐角,满足,则的值为(????)

A.1B.C.D.

8.已知,,,则(????)

A.B.C.D.1

二、填空题

9.已知,则.

10.若,则的值为.

【能力提升】

一、单选题

1.已知角,满足,,则(????)

A.B.C.D.2

2.已知,则(????)

A.B.C.D.

3.设,,,则有(????)

A.B.C.D.

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