（寒假）新高考数学一轮复习考点精讲+巩固训练+随堂检测05 三角函数的图象与性质（教师版）.docxVIP

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第05讲三角函数的图象与性质

知识讲解

三角函数的图象与性质

图象

定义域

值域

最值

当时，；当

时，．

当时，

；当

时，．

既无最大值也无最小值

周期性

奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数

单调性

在

上是增函数；

在

上是减函数．

在上是增函数；

在上是减函数．

在

上是增函数．

对称性

对称中心

对称轴

对称中心

对称轴

对称中心

无对称轴

三角函数型函数的图象和性质

正弦型函数、余弦型函数性质

，

振幅，决定函数的值域，值域为

决定函数的周期，

叫做相位，其中叫做初相

正切型函数性质

的周期公式为：

会用五代作图法及整体代换思想解决三角函数型函数的图象及性质

考点一、正弦（型）函数的图象及性质

【例1】函数为增函数的区间是（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据三角函数单调性的求法求得正确答案.

【详解】，，，，

令可的的递增区间为.故选：C

【变式1】函数的最小正周期为

【答案】

【分析】化简即得解.

【详解】解：由题得，所以函数的最小正周期为.故答案为：

【变式2】关于函数有下述四个结论：

①f(x)是偶函数????????②f(x)在区间（,）单调递增

③f(x)在有4个零点????④f(x)的最大值为2

其中所有正确结论的编号是

A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③

【答案】C

【分析】化简函数，研究它的性质从而得出正确答案．

【详解】为偶函数，故①正确．当时，，它在区间单调递减，故②错误．当时，，它有两个零点：；当时，，它有一个零点：，故在有个零点：，故③错误．当时，；当时，，又为偶函数，的最大值为，故④正确．综上所述，①④????正确，故选C．

【变式3】（多选）关于函数，下列说法正确的是（????）

A．函数在上最大值为 B．函数的图象关于点对称

C．函数在上单调递增 D．函数的最小正周期为

【答案】BD

【分析】根据给定条件，利用正弦函数的图象性质，逐项分析判断作答.

【详解】对于A，当时，，，最大值为2，A错误；

对于B，因为，则函数的图象关于点对称，B正确；

对于C，当时，，函数在上不单调，则在上不单调，C错误；对于D，函数的最小正周期，D正确.故选：BD.

考点二、余弦函数（型）的图象及性质

【例2】已知函数，则（????）

A．在上单调递减 B．在上单调递增

C．在上单调递减 D．在上单调递增

【答案】C

【分析】化简得出，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.

【详解】因为.

对于A选项，当时，，则在上单调递增，A错；

对于B选项，当时，，则在上不单调，B错；

对于C选项，当时，，则在上单调递减，C对；

对于D选项，当时，，则在上不单调，D错.

故选：C.

【变式4】函数是（）

A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2

C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为

【答案】D

【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.

【详解】由题意，，所以该函数为偶函数，又，所以当时，取最大值.故选：D.

【变式5】记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为．

【答案】

【分析】首先表示出，根据求出，再根据为函数的零点，即可求出的取值，从而得解；

【详解】解：因为，（，）所以最小正周期，

因为，又，所以，即，

又为的零点，所以，解得，因为，所以当时；故答案为：

【变式6】已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为．

【答案】2

【分析】先根据图象求出函数的解析式，再求出的值，然后求解三角不等式可得最小正整数或验证数值可得.

【详解】由图可知，即，所以；由五点法可得，即；

所以.因为，；

所以由可得或；

因为，所以，

方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即，

解得，令，可得，可得的最小正整数为2.

考点三、正切函数（型）的图象及性质

【例3】函数的最小正周期为．

【答案】

【分析】利用二倍角公式化简后，由正切函数的性质可得.

【详解】因为，即，所以，所以

于是易知，所求函数的最小值周期.

故答案为：

【变式7】已知函数，则下列说法正确的是（????）

A．为奇函数 B．在区间上单调递增

C．图象的一个对称中心为 D．的最小正周期为π

【答案】C

【分析】根据正切函数的定义域、对称中心、周期、单调性逐项判断即可得解.

【详解】因为，所以，解得，

即函数的定义域不关于原点对称，所以不是奇函数，故A错误；

当时，，此时无意义，故在区间上单调递增不正确，故B错误；