（寒假）新高考数学一轮复习考点精讲+巩固训练+随堂检测09 导数与函数的单调性（教师版）.docxVIP

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第09讲导数与函数的单调性

知识讲解

导函数与原函数的关系

条件

恒有

结论

函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导

＞0

f(x)在(a，b)上单调递增

＜0

f(x)在(a，b)上单调递减

＝0

f(x)在(a，b)上是常数函数

利用导数判断函数单调性的步骤

第1步，确定函数的定义域；

第2步，求出导函数f′(x)的零点；

第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.

[常用结论]

1.若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，恒成立.

2.若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，＞0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，＜0有解.

考点一、函数与导函数图象之间的关系

【例1】设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（????）

A．B．C．D．

【答案】C

【分析】根据导函数的图象得出函数的单调区间，根据函数的单调性即可判断.

【详解】由导函数的图象可得当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.只有C选项的图象符合.故选：C.

【变式1】已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），则下面四个图象中，的图象大致是（????）

A．B．C．D．

【答案】C

【分析】先利用函数的图象求得函数的单调区间，进而得到正确选项.

【详解】由题给函数的图象，可得当时，，则，则单调递增；

当时，，则，则单调递减；当时，，则，则单调递减；当时，，则，则单调递增；则单调递增区间为，；单调递减区间为故仅选项C符合要求.故选：C

【变式2】设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（????）

??

A．B．C．D．

【答案】D

【分析】根据的图象可得的单调性，从而得到在相应范围上的符号，据此可判断的图象.

【详解】由的图象可知，在上为单调递减函数，故时，，故排除A，C；当时，函数的图象是先递增，再递减，最后再递增，所以的值是先正，再负，最后是正，因此排除B，故选：D.

考点二、利用导数求不含参函数的单调性

【例2】设函数，曲线在点处的切线方程为．

(1)求的值；

(2)设函数，求的单调区间；

(3)求的极值点个数．

【答案】(1)；(2)答案见解析；(3)3个

【分析】（1）先对求导，利用导数的几何意义得到，，从而得到关于的方程组，解之即可；

（2）由（1）得的解析式，从而求得，利用数轴穿根法求得与的解，由此求得的单调区间；

（3）结合（2）中结论，利用零点存在定理，依次分类讨论区间，，与上的零点的情况，从而利用导数与函数的极值点的关系求得的极值点个数.

【详解】（1）因为，所以，

因为在处的切线方程为，所以，，

则，解得，所以.

（2）由（1）得，则，

令，解得，不妨设，，则，易知恒成立，

所以令，解得或；令，解得或；

所以在，上单调递减，在，上单调递增，

即的单调递减区间为和，单调递增区间为和.

（3）由（1）得，，

由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增，

当时，，，即

所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，

此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；

所以在上有一个极小值点；

当时，在上单调递减，则，故，

所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，

此时，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减；

所以在上有一个极大值点；当时，在上单调递增，

则，故，

所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，

此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；

所以在上有一个极小值点；

当时，，所以，则单调递增，

所以在上无极值点；

综上：在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有个极值点.

【变式3】已知且，函数．

（1）当时，求的单调区间；

（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．

【答案】（1）上单调递增；上单调递减；（2）.

【分析】（1）求得函数的导函数，利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的单调性；

（2）方法一：利用指数对数的运算法则，可以将曲线与直线有且仅有两个交点等价转化为方程有两个不同的实数根，即曲线与直线有两个交点，利用导函数研究的单调性，并结合的正负，零点和极限值分析的图象，进而得到，发现这正好是，然后根据的图象和单调性得到的取值范围.

【详解】（1）当时，,

令得,当时，,当时，,

∴函数在上单调递增；上单调递减；

（2）[方法一]【最优解】：分离参数

,设函数,

则,令，得,