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现代数学基础习题解答.docVIP

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现代数学基础习题解答

1集合与映射 -5

1证明,其中为实数集。

证明 : 设,当且仅当,

容易验证,是双射。

所以。

2证明:如果是无限集,是可数集合,则。

证明: 不失一般性,设。

由于是无限集,故存在可数子集,设是的可数子集,

则,,且

,,

于是是可数集合,

记,,

令为:

若,;

若,

易知为双射,故。

3记区间中全体无理数所构成集合为,证明:。

证明: 由于是无限集,故存在可数无线集,记为。

令,

于是,,且

,,

而且为可数集,

记,,

令为:,

易知为双射,故。

4证明:。

证明: 注意到:

由于区间是无限集,故存在可数无线集,记为,

则,,且

,,

由于,

令为:,

易知为双射,故。

5证明:是可列集合。

证明: 注意到:是个可数集的并,

因此是可列集合。

2实数集的紧理论 -6

1设 (1),则,;

(2),则,。

2设,,则,使得。

证明: 由于,

故对,,使得,

或 ,使得,

即 ,使得。

3设,则,。

证明: 对,使得有,

又,故,

于是,

从而,

由的任意性可得:。

同理可得:。

4设有上(或下)确界,则其上(或下)确界必唯一。

证明: 设和都是的上确界,即,且,

一方面,由于,

故对,,使得,

又,

故对上述,有,

于是,

由的任意性,故,

同理,,

因此,即的上确界唯一。

同理可证:若有下确界,则其下确界必唯一。

5证明:中单调有界数列必有极限。

证明:设单增、有上界,

即,且,使得,。

由确界原理:有上确界,记为,

则。

事实上,由于,则

一方面,,;

另一方面,对,,使得,

由于单增,故当时,,

即,当时,有,即,

因此,,记为。

同理:单增、有下界,则。

6令,运用Cauchy收敛准则证明:发散。

证明: 由Cauchy收敛准则,只证不是Cauchy点列。

由于

故发散。

3闭区间上连续函数性质 -1

1设连续函数列在区间上一致收敛于函数,

证明:。

证明: 由于连续函数列在区间上一致收敛于函数,

故对,,使得时,对,有

于是,当时,

即。

4Lebesgue可测集 -4

1设,则。

证明: 事实上,对,考虑

则,

故,

由的任意性,令,得:。

2设是最多可数集,则。

证明: 由于是最多可数集,不妨记,

即,

故 ,

即。

3证明:(1)若,则;

(2)设,,则,且。

证明:对,

注意到:,,

故 ,,

于是 ,

而 天然成立,

故 ,

因此可测,即,且。

4设,是零测集,则,且。

证明: 事实上,注意到:,故显然。

又,

故。

5Lebesgue可测函数 -11

1设是可测集上的函数,

证明:如果对,都是可测集,则对,是可测集。

证明: 对,由于是的稠密子集,

故,满足:,且,

于是,

事实上,

对,

故,,

因此;

,使得

,使得

故,

所以。

注意到:对皆可测,

故可测,即可测。

2设是可测集上的实值函数,证明:下列诸命题等价:

(1)是上的可测函数,即是可测集;

(2)对任意,集合是可测集;

(3)对任意,集合是可测集;

(4)对任意,集合是可测集;

证明:注意到:

,,

,,

(1)(2):由于对是可测集,故是可测集;

(2)(3):由于和是可测集,故是可测集;

(3)(4):由于对是可测集,故是可测集;

(4)(1):由于和是可测集,故是可测集;

3设是可测集,,任意,

则是上的可测函数。

证明: 对,,

而和均可测,

故可测,因此是上的可测函数。

4设可测,,,

则是上的可测函数是可测集。

证明:对,,

因此, 是上的可测函数是可测集;

是可测集是可测集,可测

是上的可测函数。

5证明:(1)设是上的广义实值函数,

若在和上均可测,则在上均可测。

(2)设是上的可测函数,可测,

则将视为上函数时,此函数在上可测。

证明: (1)注意到:对,

(2)注意到:对,,

结论可得。

6设是上的可测函数,则(是常数)是上的可测函数;

证明:对,注意到,

而,,和都可测,

故可测,即(是常数)是上的可测函数。

7设是上的可测函数,则是上的可测函数;

证明:注意到:对,若

,使得,或且

因此,

由于可测,

所以可测(可测集的可列并可测),

故是上的可测函数;

8设是上的可测函数,则是上的可测函数。

证明:首先,是上的可测函数,

事实上,对,

故可测,即是上的可测函数;

其次,注意到:,

故是上的可测函数。

9设是可测集,则上的连续函数均为可测函数。

证明:

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