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现代数学基础习题解答
1集合与映射 -5
1证明,其中为实数集。
证明 : 设,当且仅当,
容易验证,是双射。
所以。
2证明:如果是无限集,是可数集合,则。
证明: 不失一般性,设。
由于是无限集,故存在可数子集,设是的可数子集,
则,,且
,,
于是是可数集合,
记,,
令为:
若,;
若,
易知为双射,故。
3记区间中全体无理数所构成集合为,证明:。
证明: 由于是无限集,故存在可数无线集,记为。
令,
于是,,且
,,
而且为可数集,
记,,
令为:,
易知为双射,故。
4证明:。
证明: 注意到:
由于区间是无限集,故存在可数无线集,记为,
则,,且
,,
由于,
令为:,
易知为双射,故。
5证明:是可列集合。
证明: 注意到:是个可数集的并,
因此是可列集合。
2实数集的紧理论 -6
1设 (1),则,;
(2),则,。
2设,,则,使得。
证明: 由于,
故对,,使得,
或 ,使得,
即 ,使得。
3设,则,。
证明: 对,使得有,
又,故,
于是,
从而,
由的任意性可得:。
同理可得:。
4设有上(或下)确界,则其上(或下)确界必唯一。
证明: 设和都是的上确界,即,且,
一方面,由于,
故对,,使得,
又,
故对上述,有,
于是,
由的任意性,故,
同理,,
因此,即的上确界唯一。
同理可证:若有下确界,则其下确界必唯一。
5证明:中单调有界数列必有极限。
证明:设单增、有上界,
即,且,使得,。
由确界原理:有上确界,记为,
则。
事实上,由于,则
一方面,,;
另一方面,对,,使得,
由于单增,故当时,,
即,当时,有,即,
因此,,记为。
同理:单增、有下界,则。
6令,运用Cauchy收敛准则证明:发散。
证明: 由Cauchy收敛准则,只证不是Cauchy点列。
由于
,
故发散。
3闭区间上连续函数性质 -1
1设连续函数列在区间上一致收敛于函数,
证明:。
证明: 由于连续函数列在区间上一致收敛于函数,
故对,,使得时,对,有
,
于是,当时,
,
即。
4Lebesgue可测集 -4
1设,则。
证明: 事实上,对,考虑
,
则,
故,
由的任意性,令,得:。
2设是最多可数集,则。
证明: 由于是最多可数集,不妨记,
即,
故 ,
即。
3证明:(1)若,则;
(2)设,,则,且。
证明:对,
注意到:,,
故 ,,
于是 ,
而 天然成立,
故 ,
因此可测,即,且。
4设,是零测集,则,且。
证明: 事实上,注意到:,故显然。
又,
故。
5Lebesgue可测函数 -11
1设是可测集上的函数,
证明:如果对,都是可测集,则对,是可测集。
证明: 对,由于是的稠密子集,
故,满足:,且,
于是,
事实上,
对,
,
故,,
因此;
,使得
,使得
,
故,
所以。
注意到:对皆可测,
故可测,即可测。
2设是可测集上的实值函数,证明:下列诸命题等价:
(1)是上的可测函数,即是可测集;
(2)对任意,集合是可测集;
(3)对任意,集合是可测集;
(4)对任意,集合是可测集;
证明:注意到:
,,
,
,,
,
(1)(2):由于对是可测集,故是可测集;
(2)(3):由于和是可测集,故是可测集;
(3)(4):由于对是可测集,故是可测集;
(4)(1):由于和是可测集,故是可测集;
3设是可测集,,任意,
则是上的可测函数。
证明: 对,,
而和均可测,
故可测,因此是上的可测函数。
4设可测,,,
则是上的可测函数是可测集。
证明:对,,
因此, 是上的可测函数是可测集;
是可测集是可测集,可测
是上的可测函数。
5证明:(1)设是上的广义实值函数,
若在和上均可测,则在上均可测。
(2)设是上的可测函数,可测,
则将视为上函数时,此函数在上可测。
证明: (1)注意到:对,
,
(2)注意到:对,,
结论可得。
6设是上的可测函数,则(是常数)是上的可测函数;
证明:对,注意到,
而,,和都可测,
故可测,即(是常数)是上的可测函数。
7设是上的可测函数,则是上的可测函数;
证明:注意到:对,若
,使得,或且
,
因此,
由于可测,
所以可测(可测集的可列并可测),
故是上的可测函数;
8设是上的可测函数,则是上的可测函数。
证明:首先,是上的可测函数,
事实上,对,
,
故可测,即是上的可测函数;
其次,注意到:,
故是上的可测函数。
9设是可测集,则上的连续函数均为可测函数。
证明:
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