投资学(屠新曙著)第四章.pptVIP

*由高数知识，条件极值问题（4.23）的解是：（4.24）因为Σ是正定矩阵，Σ-1存在，所以AΣ-1AT是可逆矩阵，因此单目标规划模型（4.22）的解是：（4.26）此时证券组合相应的最小风险就是：（4.27）*添加标题【例4.1】已知三种证券的预期收益率分别是：添加标题它们的协方差矩阵为：添加标题求满足给定预期收益率下证券组合的最优投资权重。*解：我们记：则：故，在给定预期收益率Rp的条件下，使证券组合的风险达到最小的最优投资权重向量为：*4.2.3最小方差集合曲线因为协方差矩阵?是正定矩阵，所以它是对称矩阵，它的逆矩阵Σ-1也是对称矩阵，因此，AΣ-1AT也是对称矩阵，当然，其逆矩阵[AΣ-1AT]-1也是对称矩阵。令：那么由公式（4.27），当证券组合的预期收益率Rp不断变化时，我们在σ—R平面上就可得到证券组合最小方差集合曲线的方程：（4.28）*公式（4-28）可以看成是Markowitz优化模型（4-1）在σ—R平面上的解，即证券组合的最小方差集合。由公式（4-28），可得：因为[AΣ-1AT]-1是正定矩阵，所以，h110，h11h22?h2120故上式可化简：（4.29）*？？？其中公式（4-29）说明n种证券组成的证券组合的最小方差集合也是σ?R平面上的一条双曲线的右半支。请仔细比较一下两支证券组成的证券组合的结合线与n种证券组成的证券组合的最小方差集合这两条σ?R平面上的双曲线有什么不同？*唐小我等人在1994年开始研究限制卖空的证券组合，即研究如下的单目标规划模型：（4.30）很显然，如果模型（4-23）的解是非负向量，那么它一定是模型（4-30）的解。如果模型（4-23）的解不是非负向量，那么在给定预期收益率下的证券组合最优权重向量就有一些负分量.这些负分量的存在意味着在为了获得给定的预期收益率下使证券组合的风险达到最小，投资者要卖空这些负权重的证券。4.2.4限制卖空的最小方差集合*现在要限制卖空，投资者就必然要删除那些负权重的证券，然后再重新求解降维后的模型（4-23），可以证明这时求得的证券组合最优权重是非负向量。由于限制卖空，投资者对证券组合的预期收益率Rp不能无限制地大，即有：记：，，则有。我们令（4.31）*由公式（4-26），模型（4-23）的解就是：（4.32）由上式，我们可得证券的投资权重为：（4.33）所以，我们有：（4.34）*证券组合的权重向量无负分量的条件为：（4.35）我们说ui不为0，同时，ui要么是正数，要么是负数，并且至少有一个为正数，也至少有一个为负数。记：（4.36）则：（4.37）这样，si把区间划分成了有限个相互邻接的子区间，在每个子区间内部，证券组合对应的各个权重符号一致。*根据投资者预期收益率Rp所属的子区间，由公式（4-37）做出判断，删除一些证券，然后利用公式（4-26），就可求出限制卖空时证券组合的最优权重了。【例4.2】已知三种证券的预期收益率分别是它们的协方差矩阵为：求限制卖空时满足给定预期收益率下证券组合的最优权重。*解：由题意，0.05?Rp?0.15。我们记：则：因此，*由于，且40，这说明对于任意的预期收益率Rp?(0.05，0.15)，投资者都要购买第二种证券。于是s1和s3把区间分成了三个相互邻接的子区间：在每个子区间内部，构成证券组合的证券是相同的。当Rp?(0.05，0.07)时，因为x10，x20，x30，所以要删掉第三种证券，而购买第一、二种证券，这时证券组合的最优投资权重向量为：*当Rp?[0.07，0.12]时，因为x10，x20，x30，所以三种证券都购买，这时证券组合的最优投资权重向量为：当Rp?(0.12，0.15)时，因为x10，x20，x30，所以要删掉第一种证券，而购买第二、三种证券，这时证券组合的最优投资权重向量为：*综上所述，可得限制卖空时证券组合的最优投资权重向量为：也就是说，限制卖空时证券组合的最优投资权重向量Xp是[0.05，0.15]上关于证券组合预期收益率Rp的逐段线性向量函数。注：在σ—R平面上关于证券组合预期收益率Rp的区间[0.05，0.07]位于低效集上；[0.07，0.12]一部分在低效集上，一部