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高清视频学案1/3

空间点线面之间的位置关系

北京四中李伟

引入

平面是不加定义的几何概念，从桌面、水面抽象出来．

几何中的平面的性质：无限延展．

知识讲解

1．平面的表示：

（1）图形表示：（斜二测画法：平行于x轴的等长，平行于y轴的半长，

夹角为45°）

注意：看不到的部分用虚线表示，或者不画

（2）文字表示：希腊字母a,b,g，或者表示平行四边形的两个相对顶点

的字母，如平面AC．

2．平面的基本性质

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的

点都在这个平面内．

符号语言：AÎl,BÎl,AÎa,BÎaÞlÌa

图形语言：

作用：证明点、直线在平面内

说明：将平面视为点的集合，则有点A在平面a内，记为AÎa，读作

“点A在平面a内”，点B不在平面内，记为BÏa．直线也是点的集合，

类似解释Î,Ì等符号．

公理2：经过不共线的三点有且只有一个平面．

符号语言：CÏABÞ有且只有一个平面a满足AÎa,BÎa,CÎa．

图形语言：

作用：确定平面个数、证明点线共面．

说明：（1）过三点的平面可记为平面ABC；（2）有且只有一个平面=确

定一个平面

问：经过一个点的平面有多少个？经过两点或同一直线上的三点的平面有

多少个？经过四个点的平面有多少个？

公理3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且仅有一条

过这个点的公共直线．

符号语言：PÎaIbÞaIb=l且PÎl

图形语言：

作用：确定两个平面的交线、证明点在直线上、确定直线与平面交点的

位置关系

三个推论：（1）经过直线和直线外一点，有且只有一个平面；

符号语言：

（2）经过两条相交直线，有且只有一个平面；

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高清视频学案2/3

符号语言：

（3）经过两条平行直线，有且只有一个平面．

符号语言：

提问：符号语言如何表示？如何证明？关键是化归为公理上即可．

典型例题

练习：根据条件画出图形：平面aI平面b=AB，直线CDÌa，

CD//AB,EÎCD,直线EFIb=F，FÏAB．

空间三个平面把空间分成几部分？并用图形表示出来．

例1已知：一条直线与两条平行直线都相交，求证：这三条直线共面．

符号语言表示：

已知：直线a，b，c中，a//b，aIc=A,bIc=B,

求证：直线a，b，c三线共面．

分析：欲证三线共面，根据为平面基本性质——公理3及其推论．

证明：

bc

aB

aA

例2已知E,F,G,H分别是空间四边形各边AB，AD，BC，CD上的点，且直

线EF与GH交于点P．求证：B，D，P在同一直线上．

解析：

例3如图所示，△ABC与△ABC不在同一个平面内，如果三直线AA、

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BB、CC两两相交，证明：三直线AA、BB、CC交于一点．

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