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高考圈题〔新课标II数学文〕

题组24平面几何选讲

一、考法解法

命题特点分析

重点考查:三角形相似,圆的切线的判定与性质、圆周角定理，旋切角定理、切割线定理和圆内接四边问题等.以计算证明为主.

解题方法荟萃

常用定理:1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

2．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

3．圆内接四边形的性质定理：圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内角的对角．

4．圆内接四边形的判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．

推论：如果一个四边形的外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．

5．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等．

6．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．

7．相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．

8．切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．

二、真题剖析

【题干】(2015新课标全国Ⅱ卷)选修4—1：几何证明选讲

如图，O为等腰三角形ABC内一点，圆O与ABC的底边BC交于M、N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB、AC分别相切于E、F两点.

〔1〕证明：EF//BC；

〔2〕假设AG等于圆O的半径，且AE=MN=,求四边形EBCF的面积。

【解析】〔=1\*ROMANI〕因为三角形ABC为等腰三角形,AD⊥BC,所以AD是∠CAB的平分线,

又因为⊙O分别与AB,AC相切与点E,F,所以AE=AF,故AD⊥EF.从而EF∥BC.

〔=2\*ROMANII〕由〔=1\*ROMANI〕知,AE=AF,AD⊥EF,故AD是EF的垂直平分线,又EF为⊙O的弦,所以O在AD上,连接OE,OM,那么OE⊥AE,由AG等于⊙O的半径得AO=2OE,所以∠OAE=30°,因此,△ABC和△AEF都是等边三角形.

因为AE=所以AO=4,OE=2.

因为OM=OE=2,DM=所以OD=1.于是AD=5,AB=.

所以四边形EBCF的面积为

〔点评〕此题主要考查直角三角形、等腰三角形以及圆的有关性质，其中第二问中，求得三角形ABC和三角形AEF都是等边三角形是解题的突破口。

【题干】(2014新课标全国Ⅱ卷)如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交

于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E．

A

A

O

P

D

B

E

C

【答案】见解析

【解析】(命题意图)此题涉及直线与圆切割关系、切割弦定理，圆内接四边形，三角形相似等知识点.

(解题点拨)证明：(1)连接AB，AC.由题设知PA＝PD，

故∠PAD＝∠PDA.

因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，

∠PAD＝∠BAD＋∠PAB，

∠DCA＝∠PAB，

所以∠DAC＝∠BAD，从而BE＝EC.

因此BE＝EC.

(2)由切割线定理得PA2＝PB·PC.

因为PA＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB.

由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，

所以AD·DE＝2PB2.

(点评)本类试题主要是以圆的应用为模型，考查了三角形的边角关系，内容稳定、形式稳定、位置稳定，难度稳定，为容易题．

【题干】(2014新课标全国Ⅰ卷)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE

.(Ⅰ)证明：∠D=∠E；

〔Ⅱ〕设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形.

【答案】见解析

【解析】(命题意图)此题考查圆的内接四边形性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

(解题点拨)

解：.(Ⅰ)由题设知得A、B、C、D四点共圆，所以D=CBE，由得，CBE=E,所以D=E

〔Ⅱ〕设BCN中点为N，连接MN,那么由MB=MC,知MN⊥BC.

所以O在MN上，又AD不是O的直径，M为AD中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD

所以AD//BC,故A=CBE，又CBE=E，故A=E

由〔1〕知D=E,所以△ADE为等边三角形

(点评)第一问利用四边形ABCD是⊙O的内接四边形，可得∠D=∠CBE，由CB=CE，可得∠E=∠CBE，即可证明：∠D=∠E；第二问设BC的中点为N，连接MN，证明AD∥BC，可得∠A=∠CBE，进而可得∠A=∠E，即可证明△ADE为等边三角形．

【题干】(2012新课标全国卷)如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交于△ABC的外接圆于F，G两点，假设，证明：

CD=BC；

.

【答案】见解