广东广州市高考数学复习专项检测试题： 31 .docVIP

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平面向量与三角形的应用举例

一、平面向量与三角形的心

1、重心（中线交点）

（1）是的重心

（2）是的重心（是平面上的点）

证明：

∵是的重心

∴，即

由此可得。

例如：已知向量，满足条件，，

求证：是正三角形。

分析：对于本题中的条件，容易想到，点是的外心，而另一个条件表明，点是的重心。

故本题可描述为，若存在一个点既是三角形的重心也是外心，则该三角形一定是正三角形。又如，若

一个三角形的重心与外接圆圆心重合，则此三角形为何种三角形？与本题实质是相同的。

显然，本题中的条件可改为。

2、垂心（高线交点）

（1）是的垂心

由，

同理，。故是的垂心。反之亦然。

（2）是（非直角三角形）的垂心，则有

且。

3、外心（边垂直平分线交点，外接圆圆心）

（1）是的外心（点到的三个顶点距离相等）

（2）是的外心（为三边垂直平分线交点）

（3）是的外心，则有

且。

4、内心（角平分线交点，内切圆圆心）

（1）是的内心

（2）是的内心

（3）引进单位向量，使条件变得更简洁。记，，的单位向量为，则是的内心

（4）是的内心，则

故或

（5）是的内心

（6）向量所在直线过的内心（是的角平分线所在直线）

（7）设是所在平面内任意一点，为内心

例如：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足

则的轨迹一定通过的（）

A、外心B、内心C、重心D、垂心

分析：已知等式即，设，显然都是单位向量，以二者为邻边构造平行四边形，则结果为菱形，故为的平分线，选。

5、外心与重心：若是的外心，是重心，则

6、外心与垂心：若是的外心，是垂心，则

7、重心与垂心：若是的重心，是垂心，则

8、外心、重心、垂心：若分别是锐角的外心、重心、垂心，则

证明：按重心定理：是的重心；

按垂心定理：，由此可得：。

9、三角形的外心、重心、垂心的位置关系：

（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线，即欧拉线；

（2）三角形的重心在欧拉线上，且为外心、垂心连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。

例如：在中，已知分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：三点共线，且

。

证明：以为原点，所在的直线为轴，建立如上图所示的直角坐标系。

设、、，分别为的中点，

则有：，

由题设可设，

，

即，故三点共线，且。

二、应用举例

1、已知在所在平面内，且，且

，则点依次是的（C）

A、重心外心垂心B、重心外心内心C、外心重心垂心D、外心重心内心

2、是所在平面内的一点，满足，则点是的（D）

A、三个内角的角平分线的交点 B、三条边的垂直平分线的交点

C、三条中线的交点 D、三条高的交点

解：由，得∴

∴是的垂心，即三条高的交点。

3、在同一个平面上有及一点满足关系式：，

则为的（D）

A、外心B、内心C、重心D、垂心

4、已知，为三角形所在平面上的动点，且满足：，则点

为的（D）

A、外心B、内心C、重心D、垂心

5、已知是所在平面内任意一点，且，则是的（C）

A、外心B、内心C、重心D、垂心

解：若是的重心，则有（是的中点）

，

∴。∴与重合，即是的重心。

6、已知的顶点及平面内一点满足：，则为的（C）

A、外心B、内心C、重心D、垂心

7、已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足：

，则的轨迹一定通过的（C）

A、外心B、内心C、重心D、垂心

8、已知，为三角形所在平面上的一点，且点满足：，则点为的（B）

A、外心B、内心C、重心D、垂心

9、在中，动点满足：，则点一定通过的（B）

A、外心B、内心C、重心D、垂心

10、已知是平面内的一个点，是平面上不共线的三点，动点满足

，则点的轨迹一定过的（B）

A、外心B、内心C、重心D、垂心

11、已知是平面上不共线的三点，是的重心，动点满足，则点一定为的（B）

A、边中线的中点B、边中线的三等分点（非重心）C、重心D、边的中点

分析：取边的中点，则，由，

得3，，即点为三角形中边中线的一个三等分点，且不过重心。

12、非零向量与满足且，则为（D）

A、三边均不相等的三角形B、直角三角形C、等腰非等边三角形D、等边三角形

13、的外接圆的圆心为，两边上的高的交点为，，则实数。

解：当为时，不妨设，则是的中点，是直角顶点，

∴，∴，∴。

14、