2025年《函数的基本性质》知识总结大全 .pdfVIP

其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。——《论语》

《函数的基本性质》知识总结大全

第一篇：《函数的基本性质》知识总结大全

《函数的基本性质》知识总结

1.单调性

函数的单调性是研究函数在定义域内某一范围的图象整体上升或

下降的变化趋势，是研究函数图象在定义域内的局部变化性质。

⑴函数单调性的定义

一般地，设函数yf(x)的定义域为A，区间IA．如果对于区间I

上是单调增函数，I称为内的______两个值x1，x2，当x1

x1，x2，当x1

M,当x1x2时，有f(x1)f(x2)0

f(x1)f(x2)y(x1x2)[f(x1)f(x2)]000；x1x2x

②f(x)在区间M上是减函数x1,x2M,当x1x2时，有

f(x1)f(x2)0

f(x1)f(x2)y00；

(x1x2)[f(x1)f(x2)]0x1x2x①f(x)在区间M上是增函数

x1,x2

⑵函数单调性的判定方法

①定义法；②图像法；③复合函数法；④导数法；⑤特值法（用

于小题），⑥结论法等.注意：

①定义法（取值——作差——变形——定号——结论）：设x1，

x2[a，b]且x1x2，那么

f(x1)f(x2)0f(x)在区间[a,b]上是增函数；x1x2

f(x1)f(x2)0f(x)在区间[a,b]上是减函数。

(x1x2)[f(x1)f(x2)]0x1x2(x1x2)[f(x1)f(x2)]0

②导数法（选修）：在反之，f(x)区间(a，b)内处处可导，若总有

f(x)0（f(x)0），则f(x)在区间(a，b)内为增（减）函数；f(x)在区

间(a，b)内为增（减）函数，且处处可导，则f(x)0（f(x)0）。请

注意两者之间的区别，可以“数形结合法”研究。

吾日三省乎吾身。为人谋而不忠乎?与朋友交而不信乎?传不习乎?——《论语》

判定函数的单调性一般要将式子

单调性主要用定义法和导数法。

提醒求单调区间时，不忘定义域；多个单调性相同的区间不一定

能用符号“”连接；单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式

表示。判定函数不具有单调性时，可举反例。

⑶与函数单调性有关的一些结论f(x1)f(x2)进行因式分解、配方、

通分、分子（分母）有理化处理，以利于判断符号；证明函数的f(x)与

g(x)同增（减），则f(x)＋g(x)为增（减）函数，f(g(x))为增函数；

②若f(x)增，g(x)为减，则f(x)－g(x)为增函数，g(x)－f(x)为减函

数，f(g(x))为减函数；

1③若函数yf(x)在某一范围内恒为正值或恒为负值，则yf(x)与

y在相同的单调区间上的单调性相反；f(x)

④函数yf(x)与函数yf(x)k(k0)具有相同的单调性和单调区间；

⑤函数yf(x)与函数ykf(x)(k0)具有相同的单调性和单调区间，

函数yf(x)与函数ykf(x)