2025年北师版八年级数学寒假预习 第02讲 等腰三角形（第2课时）.pdfVIP

第02讲等腰三角形（第2课时）

模块一思维导图串知识1．了解等边三角形的性质；

模块二基础知识全梳理（吃透教材）2．学会等腰三角形的判定定理；

模块三核心考点举一反三3.掌握等边三角形的判定定理；

模块四小试牛刀过关测4.掌握等腰、等边三角形的性质与判定综合应用

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知识点等边三角形的性质

思考：等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征呢?

定理等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.

已知：如图1-6,在△ABC中，ABACBC.求证：∠A∠B∠C60°.

证明：∵ABAC,

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∠B∠C(等边对等角).

又∵ACBC,

∴∠A∠B(等边对等角).

∴∠A∠B∠C.

在△ABC中，

∵∠A+∠B+∠C180°,

∴∠A∠B∠C60°.

要点：①等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的所有性质，此外还具有一些特殊性质；

②等腰三角形的“三线合一”性质在等边三角形中可以拓展到含三对“三线合一”。

知识点2等腰三角形的判定定理（等角对等边）

思考：前面已经证明了等腰三角形的两底角相等.反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗?

如图1-7,在△ABC中，∠B∠C,要想证明ABAC,只要能构造两个全等的三角形，使AB与AC成为对应边

就可以了.你是怎样构造的?

已知：如图1,在△ABC中，∠B∠C.求证：ABAC.

证法1:作∠BAC的平分线，交BC于点D.

∵AD平分∠BAC,

∴∠BAD∠CAD.

∵∠B∠C,ADAD,

∴△ABD≌△ACD(AAS).

∴ABAC(全等三角形的对应边相等).

证法2:如图2,过点A作BC的垂线，垂足为D.

∵AD⊥BC,

∴∠ADB∠ADC90°.

∵∠B∠C,ADAD,

∴△ABD≌△ACD(AAS).

∴ABAC(全等三角形的对应边相等).

定理有两个角相等的三角形是等腰三角形.这一定理可以简述为：等角对等边.

例已知：如图1-8,ABDC,BDCA,BD与CA相交于点E.

求证：△AED是等腰三角形.

证明：∵ABDC,BDCA,ADDA,

∴△ABD≌△DCA(SSS).

∴∠ADB∠DAC(全等三角形的对应角相等).

∴AEDE(等角对等边).

∴△AED是等腰三角形.

数学理解

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（1）已知：如图(甲),等腰三角形的一个内角为锐角,腰为a,求作这个等腰三角形；

α

提示：这样的等腰三角形有两个，一个以∠α为顶角，另一个以∠α为底角

(2)在(1)中，把锐角变成钝角,其他条件不变，求作这个等腰三角形.

αα

提示：这样的等腰三角形只有两个，即以∠为顶角的等腰三角形

α

知识点3等边三角形的判定

思考：一个三角形满足什么条件时是等边三角形?一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形?请证明自己

的结论，并与同伴交流.

定理三个角都相等的三角形是等边三角形.

定理有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.

考点一：等边三角形的性质

例．等边三角形是一个轴对称图形，它有条对称轴．

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【变式1-1】．如图，在等边△ABC中，BDAC于点D，若AB8，则AD．

【变式1-2】．如图，VABC是等边三角形，AB2cm，求高的长和VABC的面积．

AD

VABCBC