2025年北师版八年级数学寒假预习 第04讲 直角三角形.pdfVIP

第04讲直角三角形

模块一思维导图串知识1．了解直角三角形的两个锐角互余及其逆定理；

模块二基础知识全梳理（吃透教材）2．学会勾股定理及其逆定理；

模块三核心考点举一反三3.掌握互逆命题、互逆定理有关概念及应用；

模块四小试牛刀过关测4.学会用HL判定直角三角形全等。

知识点1从角的角度研究直角三角形的性质和判定

思考：(1)直角三角形的两个锐角有怎样的关系?为什么?

(2)如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗?为什么?

定理直角三角形的两个锐角互余.

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定理有两个角互余的三角形是直角三角形.

定理证明：

(1)已知：如图1,在Rt△ABC中，∠C90°.

求证：∠A+∠B90°.

证明：在△ABC中，∠A+∠B+∠C180°.

∵∠C90°,

∴∠A+∠B180°-∠C180°-90°90°.

(2)已知：如图2,在△ABC中，∠A+∠B90°.

求证：△ABC是直角三角形.

证明：在△ABC中，∠A+∠B+∠C180°.

∵∠A+∠B90°,

∴∠C180°-(∠A+∠B)180°-90°90°.

∴△ABC是直角三角形.

2

知识点从边的角度研究直角三角形的性质和判定

1.勾股定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.

有关证明过程参见教材本节“读一读”.

2.反过来，在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的办法得出“这个三角形

是直角三角形”的结论.下面我们证明这个结论

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已知：如图1-12(1),在△ABC中，AB+ACBC.

求证：△ABC是直角三角形.

证明：如图1-12(2),作Rt△ABC,

′′′

∠A90°,A′B′AB,A′C′AC,

22

则A′B′+A′C′²B′C′(勾股定理).

∵AB²+AC²BC²,

∴BC²B′C′².

∴BCBC

∴△ABC≌△ABC(SSS).

∴∠A∠A90°(全等三角形的对应角相等)

2

因此，△ABC是直角三角形.

定理如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.

知识点3互逆命题

思考与交流：观察上面第一个定理和第二个定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系?第三个定

理和第四个定理呢?与同伴交流.

再观察下面三组命题：

上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗?与同伴交流.

结论：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命

题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.

一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它

也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.例如，本节课学习的第一个定理和第二

个定理就是一对互逆定理，第三个定理和第四个定理也是一对互逆定理（即勾股定理及其逆定理）.

你还能举出一些互逆定理的例子吗?

知识点4“HL”

已知：如图1-14,线段a,c(ac),直角α.

求作：Rt△ABC,使∠C∠α,BCa,ABc.

小明的作法如下：

你作的直角三角形与小明作的全等吗?

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定理斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.简述为“斜边、直角边”或“HL”

定理证明：

已知：如图1-15,在△ABC与△ABC中，∠C∠C90°,ABAB,ACAC.

′′′′′′′

求证：△ABC≌△ABC.

′′′

证明：在△AB