集合部分易做易错题.docVIP

一、无视符号的含义

集合中的符号语言极具抽象性，准确理解集合中符合的含义是解决问题的关键。对于某些新定义的集合问题，需要准确把握即时定义，理解定义中新符号的含义，力求恰到好处地解决问题，防止失误。

例1.如下图，A、B是两个非空集合，定义，那么是下列图中的〔〕

A.I B.II C.III D.

错解：因，应选C。

辨析：上述解法对新定义符号“－”的理解不当，致使在迁移运用时出现错误。的正确理解应是，而为图中的区域I，故应为图中的区域II，应选B。

二、无视空集

空集是任何集合的子集，它不含任何元素，与任何集合的交集为空集，与任何集合的并集仍为这个集合。当题目中隐含有空集参与的集合关系时，假设无视空集，那么往往造成错解。

例2.集合，假设，求实数m的值。

错解：由

当时，得

当时，得

故m的值为1或

辨析：当B为空集时也符合题意，此时m=0。

故或或

三、无视代表元素

构成集合的元素是有明确意义的。假设对描述法表示的数集、点集中的代表元素的含义理解不透，那么可致错。

例3.集合，求。

错解1：集合A与B的代表元素形式不同，不能进行交集运算。

辨析：集合A、B是同一种对象的集合，只是代表元素字母不同，但要清楚这两个集合中代表元素的实际含义——都是数集。因此可以进行运算，故正确答案为。

错解2：由

得

辨析：集合A、B都是数集，且A中代表元素为y，实际上是函数的值域，即。B中代表元素为x，应是函数的定义域，即。上述解法把集合B中的代表元素也看作函数的值域，故解答过程错误。虽答案正确，但纯属巧合。

错解3：由

故

辨析：集合A、B都是数集而不是点集，错解3误认为是求两个曲线的交点，故解答错误。

四、无视元素〔或参数〕特性

集合中的元素具有确定性、互异性、无序性。在解含有参数的集合问题时，无视元素〔或参数〕的特性，往往容易出现错误。

例4.，求实数a的值。

错解：由题意

解得

辨析：上述解法没有考虑元素的特性而得到a的值，因此应代入检验。

当时，，不符合元素互异性这一特点

故。

同理。

故只有。

五、无视隐含条件

集合是一种具有深刻含义的数学语言，它的内容丰富，需要表达准确。某些题目的条件中往往隐含着一些特定的内容，解题时假设不能深挖隐含条件，往往会掉进陷阱，导致错误。

例5.设全集，求实数a的值。

错解：由

解得

辨析：因为集合U为全集，因此此题隐含着集合A中的所有元素都在集合U中。当时，集合，显然不符合题意。故。

另外，假设注意到隐含条件，可跳出陷阱。

由题意得

解得

六、无视等价转化

对于用集合语言表达的问题，求解时往往需转化为代数语言或几何语言，如果转化不等价，就会导致错误。

例6.设集合，且，求实数a的值。

错解：集合M表示直线上的点的集合，集合N表示直线上的点的集合。又〔即两直线平行时〕，故，即。

辨析：将集合M转化为直线上的点的集合是不等价的，它应除去点〔1，-1〕。当集合N表示的直线过这个点时，也符合，把点代入直线，解得。

故

练一练：

集合，求。

答案：

提示：集合中的元素是没有顺序的，集合中参数取值可以是任意的，即集合A、B中n的值并非相等。当集合A中n取3时，A中含有元素3；集合B中n取4时，B中也含有元素，即n的取值可以不同，但元素是相同的。集合B中，当n为偶数时，设，此时；当n为奇数时，设，此时。故