微积分基本公式.ppt

引例设f(t)，且在[a,b]上可积。b表示一曲

0af(t)dt

边梯形的面积。x

取x(a,b)，则af(t)dt

表示区间[a,x]上方部分曲边梯形的面积。

当x变化时，面积也随之变化。

x

f(t)dty在[a,b]区间上定义了一个x的函数。

ab

x

x

x

因为x是积分上限，x

a

故称为积分上限函数o。

一、积分上限函数

设函数f(x)在[a,b]上可积，x[a,b]，则称

x

(x)af(t)dt

为定义在[a,b]上的积分上限函数注。：

b

f(t)相dt应。地可以定义

x积分下限函数：

a

易见(a)f(t)dt0；

定义a

（b。

b)af(t)dt

积分上限函数的性质

定理1若f(x)是[a,b]上有界的可积函数，则

x在上连续。

(x)af(t)dt[a,b]

证：设有m,M使mf(t)M，以及x,xx[a,b],

则(x)(xx)(x)

xxx

af(t)dtaf(t)dt

xx

xf(t)dt

于是mx(x)Mx，

limmxlimMx0，

x0x0

lim(x)0,即(x)在x处连续。

x0

定理2

若函数f(t)在区间[a,b]上连续，则

x

(x)f(t)dt在[a,b]上可导，且(x)f(x).

a

设x,xx[a,b]。因为f(x)在[a,b]上连续，

由积分中值定理得,在x与xx之间，

使

证：(x)1xx1

f(t)dtf()xf()，

xxxx

当x0时，x及f(x)的连续性知

(x)

(x)limlimf()f(x)。

x0xx

注：

(1)证明了原函数存在定理

x

(x)f(t)dt就是f(x)的一个原函数

a

(2)沟通了定积分和不定积分之间的联系，

可以利用原函数求定积分(NL公式)

(3)揭示了微分与定积分之间的内在联

系，此定理又叫微