2025年北师版八年级数学寒假预习 第03讲 等腰三角形（第3课时）.docxVIP

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第03讲等腰三角形（第3课时）

模块一思维导图串知识

模块二基础知识全梳理（吃透教材）

模块三核心考点举一反三

模块四小试牛刀过关测

1．掌握反证法的概念，学会用反证法证明；

2．知道直角三角形30°角的性质；

3.学会等腰三角形的综合应用。

知识点1反证法

引入：小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等.你认为小明这个结论成立吗?如果成立，你能证明它吗?

小明是这样想的：如图1-9,在△ABC中，已知∠B≠∠C,此时AB与AC要么相等，要么不相等.

假设AB=AC,那么根据“等边对等角”定理可得∠C=∠B,这与已知条件∠B≠∠C相矛盾，因此AB≠AC.

小明在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法.

要点：一般证明步骤如下：

（1）假定命题的结论不成立；

（2）从这个假设和其他已知条件出发，经过推理论证，得出与学过的概念、基本事实，以证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果；

（3）由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的.

例用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.

已知：△ABC.

求证：∠A,∠B,∠C中不能有两个角是直角.

证明：假设∠A,∠B,∠C中有两个角是直角，不妨设∠A和∠B是直角，即∠A=90°,∠B=90°

于是∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C180°.

这与三角形内角和定理相矛盾，因此“∠A和∠B是直角”的假设不成立.

所以，一个三角形中不能有两个角是直角.

知识点2含有30°角的直角三角形

思考：用两个含30°角的全等的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形?能拼出一个等边三角形吗?由此你能发现什么结论?说说你的理由.

定理在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.

已知：如图1-10(1),△ABC是直角三角形，∠C=90°,∠A=30°.

求证：

证明：如图1-10(2),延长BC至D,使CD=BC,连接AD.

∵∠ACB=90°,∠BAC=30°,

∴∠ACD=90°,∠B=60°.

∵AC=AC,

∴△ABC≌△ADC(SAS).

∴AB=AD(全等三角形的对应边相等).

∴△ABD是等边三角形(有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形).

∴

例求证：如果等腰三角形的底角为15°,那么腰上的高是腰长的一半.

已知：如图1-11,在△ABC中，AB=AC,∠B=15°,CD是腰AB上的高.

求证：

证明：在△ABC中，

∵AB=AC,∠B=15°,

∴∠ACB=∠B=15°(等边对等角).

∴∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30°.

∵CD是腰AB上的高，

∴∠ADC=90°.

∴(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半).

∴

考点一：用反证法证明的步骤辨析

例1．用反证法证明命题“钝角三角形中必有一个内角小于”时，首先应该假设这个三角形中（????）

A．有一个内角小于 B．每一个内角都大于等于

C．有一个内角大于等于 D．每一个内角都小于

【变式1-1】．用反证法证明“三角形中必有一个内角不大于”时，应假设（）

A．有一个内角小于 B．每一个内角都小于

C．有一个内角大于 D．每一个内角都大于

【变式1-2】．我们可以用反证法来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”．下面写出了证明该问题过程中的四个步骤：①这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾．②所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．③假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于．④则三角形的三个内角的和大于．这四个步骤正确的顺序是.

【变式1-3】．小明在解答“已知中，，求证”这道题时，写出了下面用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：

（1）所以，这与三角形内角和定理相矛盾．

（2）所以．

（3）假设．

（4）那么，由，得，即，即．

请你写出这四个步骤正确的顺序．

考点二：用反证法证明

例2．如图，在同一平面内，已知直线于点与直线相交（且不垂直）于点．求证：与必相交．

证明：假设与不相交，则______________________．

这与与直线不垂直相矛盾．

假设与不相交___________．

与___________．

【变式2-1】．用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角.

已知：在△ABC中，AB=AC．求证：∠B，∠C必为锐角.

【变式2-2】．阅读下列材料