2025年北师版八年级数学寒假预习 第05讲 线段的垂直平分线.docxVIP

PAGE

PAGE1

第05讲线段的垂直平分线

模块一思维导图串知识

模块二基础知识全梳理（吃透教材）

模块三核心考点举一反三

模块四小试牛刀过关测

1．了解线段垂直平分线的性质；

2．学会线段垂直平分线的判定；

3.掌握三角形三边的垂直平分线的交点的性质；

4.掌握线段的垂直平分线有关的尺规作图.

知识点1线段垂直平分线的性质

定理线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.

已知：如图1-17,直线MN⊥AB,垂足为C,且AC=BC,P是MN上的任意一点.

求证：PA=PB.

证明：∵MN⊥AB,

∴∠PCA=∠PCB=90°.

∵AC=BC,PC=PC,

∴△PCA≌△PCB(SAS).

∴PA=PB(全等三角形的对应边相等).

注：如果点P与点C重合，那么结论显然成立.

知识点2线段垂直平分线的判定

思考：你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗?如果是，请你加以证明.

定理到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.

下面证明过程供参考.

已知：如图，线段AB,PA=PB.

求证：点P在线段AB的垂直平分线上.

证明：过点P作直线MN⊥AB,垂足为C,则PC是△PAB的高.

∵PA=PB,

∴△PAB是等腰三角形.

∴PC是△PAB的中线(三线合一).

∴AC=BC.

∴直线MN是线段AB的垂直平分线.

∴点P在线段AB的垂直平分线上.

证明这一判定定理有多种思路，除了上面的方法，还可以取AB的中点C,证明PC⊥AB;或作∠APB的平分线PC,证明PC⊥AB,且AC=BC

总结：线段的垂直平分线可以看成是到线段两端距离相等的所有点的集合；线段是一个轴对称图形，线段的垂直平分线是它的一条对称轴.

知识点3三角形三边的垂直平分线的交点

例1求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.

已知：如图1-19,在△ABC中，边AB的垂直平分线与边BC的垂直平分线相交于点P.

求证：边AC的垂直平分线经过点P,且PA=PB=PC.

证明：∵点P在线段AB的垂直平分线上，

∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等).

同理，PB=PC.∴PA=PB=PC.

∴点P在线段AC的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上),

即边AC的垂直平分线经过点P.

知识点4尺规作图

例2已知一个等腰三角形的底边及底边上的高，求作这个等腰三角形

已知：如图1-20(1),线段a,h.求作：△ABC,使AB=AC,且BC=a,高AD=h.

作法：

(1)作线段BC=a(如图1-20(2)).

(2)作线段BC的垂直平分线1,交BC于点D.

(3)在1上作线段DA,使DA=h.

(4)连接AB,AC.

△ABC为所求的等腰三角形.

议一议

已知三角形的一条边及这条边上的高，你能画出满足条件的三角形吗?如果能，能画出几个?所画出的三角形都全等吗?

答：这样的三角形可以画无数个，由于高的位置可以不同，因此所画的三角形不都全等

(2)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出满足条件的一个等腰三角形吗?

答：满足条件的三角形可以作出两个，但因为它们全等，故只有一解.

线段垂直平分线的做法:

求作线段AB的垂直平分线.

作法：（1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；

（2）作直线CD，CD即为所求直线．

要点：(1)作弧时的半径必须大于AB的长，否则就不能得到两弧的交点了．

(2)线段的垂直平分线的实质是一条直线.

考点一：根据线段垂直平分线的性质求长度

例1．如图所示，线段的垂直平分线与相交于点D，已知，则的长为（???）

A．4 B．3 C．2 D．1

【变式1-1】．如图，在中，的垂直平分线分别交、于点D、E，连接，若，，则的长是（????）

A．8 B．6 C．4 D．2

【变式1-2】．如图，直线为线段的垂直平分线，交于点D，连，若，，则长为（????）

A．6 B．7 C．8 D．9

【变式1-3】．如图，在中，边的垂直平分线l与交于点D，垂足为点E．试比较与的大小：．（填“”“”或“”）

考点二：根据线段垂直平分线的性质求角度

例2．如图，在中，，，垂直平分，则的度数为（???）

A． B． C． D．

【变式2-1】．如图，是等腰底边上的中线，点在上，且，若，则的度数为（???）

A． B． C． D．

【变式2-2】．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠C＝7∠BAE，则∠C的度数为（）

A．4