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太上有立德，其次有立功，其次有立言，虽久不废，此谓不朽。——《左传》
2025年全国硕士研究生招生考试
数学（三）真题及答案
一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分）
ᵆ2
ᵆ37
（1）当ᵆ→0时，∫(ᵅ−1)ᵅᵆ是ᵆ的（）
0
（A）低阶无穷小（B）等阶无穷小（C）高阶无穷小（D）同阶但非等阶无穷小
【答案】C.
【解析】因为当ᵆ→0时，
ᵆ2ᵆ3ᵆ67
∫(ᵅ−1)ᵅᵆ(ᵅ−1)⋅2ᵆ2ᵆ
lim0=lim=lim=0
ᵆ→0ᵆ7ᵆ→07ᵆ6ᵆ→07ᵆ6
ᵆ2
ᵆ37
所以，∫(ᵅ−1)ᵅᵆ是ᵆ的高阶无穷小.
0
【思路】在无穷小比较中，若涉及到定积分，常用求导的方式先将积分符号化掉.有时也可
用积分中值定理将积分符号化掉.
ᵆ2
ᵆ3ᵰ62
∫(ᵅ−1)ᵅᵆ=(ᵅ−1)⋅ᵆ,其中ᵰ位于0,ᵆ之间.
0
则当ᵆ→0时，ᵰ→ᵆ→0，则有
ᵆ2
ᵆ3ᵆ628
∫(ᵅ−1)ᵅᵆ∼(ᵅ−1)⋅ᵆ∼ᵆ
0
ᵅᵆ−1
,ᵆ≠0
()
（2）函数ᵅᵆ={ᵆ，在ᵆ=0处（）
1,ᵆ=0
（A）连续且取得极大值（B）连续且取得极小值
（C）可导且导数等于零（D）可导且导数不为零
【答案】D.
【解析】先考虑连续性.当ᵆ→0时，
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