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令

第三章一元函数的导数及其应用

突破3利用导数证明不等式

匹l练习帮练透好题精准分层

突破3利用导数证明不等式

命题点1将不等式转化为函数的最值问题

0

例1[223新高考卷II节选］证明：l时，x-正sinx.

当0x

x

——

x2sin——

［解析］令h(x)=xx,1

则h(x)=2xcosx,

——

1—

令p(x)=2xcosx，则=

p(x)2+sinx0,

所以p(x)即h(x)，

又h(O)O

单调递减=

l时，h(x)h(O)=O,h(x)单调递减，

所以当0x

0—.

xl时，h(x)0,即x正sinx

(0)=

所以当h

——

sinx

令g(x)=x,=

则g(x)cosx1X(0,1),

0,巳

，0

所以g(x)单调递减又g(0)=

1

所以当0x时，g(x)g(O)=O,即inx.

x

1—正sin.

综上，当0x时，x

xx

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突破3利用导数证明不等式

方法技巧

(1)利用函数的单调性和最值直接证明

(2)证明不等式f(x)g(x)转化为证明f(x)—g(x)O,进而构造辅助函数h(x)=

f(x)—g(x)，通过研究函数h(x)的单调性，证明h(x)O.

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