数学公开课平面向量数量积的各种求法ppt课件.pptxVIP

数学公开课平面向量数量积的各种求法ppt课件

目录contents平面向量数量积基本概念与性质直接法求解平面向量数量积投影法求解平面向量数量积极化恒等式在求解中的应用几何意义法在求解中的应用总结与拓展

01平面向量数量积基本概念与性质

定义对于两个平面向量$vec{a}$和$vec{b}$，它们的数量积（也称为点积）定义为$vec{a}cdotvec{b}=|vec{a}|times|vec{b}|timescostheta$，其中$theta$是$vec{a}$和$vec{b}$之间的夹角。物理意义在物理中，数量积可以表示两个力的合力在某一方向上的分量，或者表示一个力在另一个力的方向上的投影。定义及物理意义

交换律$vec{a}cdotvec{b}=vec{b}cdotvec{a}$$(vec{a}+vec{b})cdotvec{c}=vec{a}cdotvec{c}+vec{b}cdotvec{c}$$(kvec{a})cdotvec{b}=k(vec{a}cdotvec{b})=vec{a}cdot(kvec{b})$，其中$k$是标量。任何向量与零向量的数量积都是0，即$vec{a}cdotvec{0}=0$。向量$vec{a}$与单位向量$hat{u}$的数量积等于$vec{a}$在$hat{u}$方向上的投影，即$vec{a}cdothat{u}=|vec{a}|costheta$。分配律与零向量的数量积与单位向量的数量积数乘结合律运算律与性质

0102夹角计算通过数量积可以计算两个向量之间的夹角，即$costheta=frac{vec{a}cdotvec{b}}{|vec{a}|times|vec{b}|}$。投影计算一个向量在另一个向量上的投影长度可以通过数量积来计算，即$|vec{a}|costheta=frac{vec{a}cdotvec{b}}{|vec{b}|}$。判断垂直关系如果两个向量的数量积为0，则这两个向量垂直。判断共线关系如果两个非零向量的数量积等于它们模的乘积，则这两个向量共线。在力学中的应用数量积在力学中常用于计算力在某一方向上的分量或合力的大小。030405几何意义及应用

02直接法求解平面向量数量积

定义法根据平面向量数量积的定义，$vec{a}cdotvec{b}=|vec{a}|times|vec{b}|timescostheta$，其中$theta$是$vec{a}$和$vec{b}$之间的夹角。夹角公式在平面直角坐标系中，如果$vec{a}=(x_1,y_1)$，$vec{b}=(x_2,y_2)$，则$costheta=frac{vec{a}cdotvec{b}}{|vec{a}|times|vec{b}|}=frac{x_1x_2+y_1y_2}{sqrt{x_1^2+y_1^2}timessqrt{x_2^2+y_2^2}}$。示例计算$vec{a}=(1,2)$和$vec{b}=(2,1)$的数量积，$vec{a}cdotvec{b}=1times2+2times1=4$。利用定义直接计算

坐标法如果$vec{a}=(x_1,y_1)$，$vec{b}=(x_2,y_2)$，则$vec{a}cdotvec{b}=x_1x_2+y_1y_2$。示例计算$vec{a}=(3,-1)$和$vec{b}=(-2,4)$的数量积，$vec{a}cdotvec{b}=3times(-2)+(-1)times4=-6-4=-10$。利用坐标运算求解

例题1：已知$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(2,-1)$，求$\vec{a}\cdot(\vec{a}+2\vec{b})$。解：首先计算$\vec{a}+2\vec{b}$，$\vec{a}+2\vec{b}=(1,2)+2(2,-1)=(5,0)$。然后计算数量积，$\vec{a}\cdot(\vec{a}+2\vec{b})=(1,2)\cdot(5,0)=1\times5+2\times0=5$。例题2：已知$|\vec{a}|=3$，$|\vec{b}|=4$，$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角为$60^\circ$，求$