2025年立体图形中的距离最短问题.pdfVIP

臣心一片磁针石，不指南方不肯休。——文天祥

立体图形中的距离最短问题

根据新课程标准，培养学生的空间观念主要表现在：“能由实物的形状想像出几何图形,

由几何图形想像出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化；能根据条件做

出立体模型或画出图形；……”。空间图形的建立需要有一个循序渐进的过程，从小学到初

中,再到高中，渐渐加强,作为一个初、高中的知识衔接模块，让学生在初中阶段能理解空间

图形，特别是空间图形的展开图,夯实基础，显得尤为重要。

立体图形上点点之间的距离最短问题,通过把立体图形转化为平面图形，然后再运用

“两点之间，线段最短”来解决.解决这一类距离最短的问题，可以利用轴对称或平移或旋

转等几何图形的变换，把两条或多条线段和最短的问题转化为平面上两点之间的距离最短的

问题来解决.

一、通过平移来转化

1.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm,A和B

是这个台阶的两个相对的端点,A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，

这只蚂蚁从A点出发,沿着台阶面爬到B点,最短线路是多少？

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析：展开图如图所示，AB=5+12=13cm

二、通过旋转来转化

2。有一圆柱形油罐，已知油罐周长是12m，高AB是5m，要从点A处开始绕油罐一

周建造梯子，正好到达A点的正上方B处,问梯子最短有多长?

析：展开图如图所示,AB=错误!=13cm

3.有一圆柱体如图，高4cm，底面半径5cm，A处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C处，求

蚂蚁爬行的最短距离.

老当益壮，宁移白首之心；穷且益坚，不坠青云之志。——唐·王勃

BCBC

AB=4,

BC为底面周长的一半

即BC=5π

AC=错误!=错误!

AA

=错误!

4。葛藤是一种刁钻的植物，它的腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而

上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路线总是沿最短路线-—螺旋前进的，难道植物也

懂数学？

通过阅读以上信息,解决下列问题:

（1）如果树干的周长（即图中圆柱体的底面周长)为30cm，绕一圈升高（即圆柱的高）

40cm,则它爬行一圈的路程是多少？

（2）如果树干的周长为80cm，绕一圈爬行100cm,它爬行10圈到达树顶,则树干高多少？

（1）如图，⊙O的周长为30cm，即AC=30cm，

高是40cm，则BC=40cm，由勾股定理得AB=50cm．

故爬行一圈的路程是50cm；

(2）⊙O的周长为80cm，即AC=80cm,

绕一圈爬行100cm，则AB=100cm，高BC=60cm．∴树干高=60×10=600cm=6m．

故树干高6m

5.已知O为圆锥顶点,OA、OB为圆锥的母线，C为OB中点，一只小蚂蚁从点C开始

沿圆锥侧面爬行到点A，另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B，它们所爬行的最短路线的

痕迹如右图所示．若沿OA剪