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**傳遞函數

**傳遞函數是經典控制理論中最重要的數學模型之一。利用傳遞函數，可以：不必求解微分方程就可以研究零初始條件系統在輸入作用下的動態過程。瞭解系統參數或結構變化時系統動態過程的影響--分析可以對系統性能的要求轉化為對傳遞函數的要求---綜合傳遞函數的基本概念

**一、傳遞函數的基本概念將上式求拉氏變化，得(令初始值為零）當傳遞函數和輸入已知時Y(s)=G(s)X(s)。通過反變換可求出時域運算式y(t)。傳遞函數的基本概念傳遞函數的定義：線性定常系統在零初始條件下輸出量的拉氏變換與輸出量的拉氏變換之比。稱為環節的傳遞函數式中：x（t）—輸入，y（t）—輸出為常係數設系統或元件的微分方程為：

**[關於傳遞函數的幾點說明]傳遞函數的概念適用於線性定常系統，它與線性常係數微分方程一一對應。且與系統的動態特性一一對應。傳遞函數不能反映系統或元件的學科屬性和物理性質。物理性質和學科類別截然不同的系統可能具有完全相同的傳遞函數。而研究某傳遞函數所得結論可適用於具有這種傳遞函數的各種系統。傳遞函數僅與系統的結構和參數有關，與系統的輸入無關。只反映了輸入和輸出之間的關係，不反映中間變數的關係。傳遞函數的概念主要適用於單輸入單輸出系統。若系統有多個輸入信號，在求傳遞函數時，除了一個有關的輸入外，其他的輸入量一概視為零。傳遞函數忽略了初始條件的影響。傳遞函數傳遞函數是s的有理分式，對實際系統而言分母的階次n大於分子的階次m，此時稱為n階系統。傳遞函數的基本概念

**傳遞函數的基本概念例１[例1]求電樞控制式直流電動機的傳遞函數。[解]已知電樞控制式直流電動機的微分方程為：方程兩邊求拉氏變換為：令，得轉速對電樞電壓的傳遞函數：令，得轉速對負載力矩的傳遞函數：最後利用疊加原理得轉速表示為：

**傳遞函數的基本概念例2[例2]求下圖的傳遞函數：

**傳遞函數的基本概念例2[例2]求下圖的傳遞函數：

**傳遞函數的表現形式[傳遞函數的幾種表達形式]：表示為有理分式形式：式中：—為實常數，一般n≥m上式稱為n階傳遞函數，相應的系統為n階系統。表示成零點、極點形式：式中：稱為傳遞函數的零點，稱為傳遞函數的極點。—傳遞係數

**傳遞函數的表現形式寫成時間常數形式：分別稱為時間常數，K稱為放大係數顯然：，若零點或極點為共軛複數，則一般用2階項來表示。若為共軛複極點，則：或其係數由或求得；

**若有零值極點，則傳遞函數的通式可以寫成：傳遞函數的表現形式從上式可以看出：傳遞函數是一些基本因數的乘積。這些基本因數就是典型環節所對應的傳遞函數，是一些最簡單、最基本的一些形式。式中：或：

**比例環節二、典型環節及其傳遞函數典型環節有比例、積分、慣性、振盪、微分和延遲環節等多種。以下分別討論典型環節的時域特徵和複域（s域）特徵。時域特徵包括微分方程和單位階躍輸入下的輸出回應。s域特性研究系統的零極點分佈。比例環節又稱為放大環節。k為放大係數。實例：分壓器，放大器，無間隙無變形齒輪傳動等。（一）比例環節：時域方程：傳遞函數：

**積分環節有一個0值極點。在圖中極點用“”表示，零點用“”表示。K表示比例係數，T稱為時間常數。（二）積分環節：時域方程：傳遞函數：0S平面j0

**積分環節實例積分環節實例：①RC圖中，為轉角，為角速度。可見，為比例環節， 為積分環節。②電動機（忽略慣性和摩擦）齒輪組

**（三）慣性環節時域方程：傳遞函數：當輸入為單位階躍函數時,有，可解得： ，式中：k為放大係數，T為時間常數。當k=1時，輸入為單位階躍函數時,時域回應曲線和零極點分佈圖如下：通過原點的斜率為1/T，且只有一個極點（-1/T）。1yt00.632T通過原點切線斜率為1/TjRe0S平面慣性環節

**求單位階躍輸入的輸出回應：可見，y(t)是非週期單調升的，所以慣性環節又叫作非週期環節。慣性環節的單位階躍回應

**①R2C-+R1而R②C兩個實例：慣性環節實例

**振盪環節（四）振盪環節：時域方程