2025中考数学 胡不归模型、阿氏圆模型与梯子滑行模型（含解析）.docx

几何压轴突破四几何最值问题之

胡不归模型、阿氏圆模型与梯子滑行模型

（3种类型7种题型详解+专题训练）

【题型汇总】

类型一胡不归模型

【模型介绍】从前有一位姓胡的小伙外出学习，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即决定回家.小伙子略懂数学常识，考虑到“两点之间线段最短”的知识，虽然他求学的地方与家之间布满了砂石，但他还是义无反顾的踏上了归途.当他赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”之后的岁月，小伙子不断的反思：如果我当时先沿着驿道走一段距离，再通过砂石区域回家，是否能见到父亲最后一面呢？如果可以，他应该沿着驿道走多远再通过砂石区域回家呢？虽然走的路多了,但总用时变少了,如果真有这种情况,那么在驿道和砂砾地带之间的拐点就尤为重要了，请问如何确定这个点呢?这就是流传千百年的“胡不归问题.

【模型详解】

条件：已知A，B为定点，其中点A在定直线m上，点P在直线m上一动点，求k?PA+PB（k＜1）的最小值.

图示：

解题步骤：

作射线AM使sin∠PAM=k（k＜1），且点M与点B位于直线m的两侧.

2）过点P作PC⊥AM于点C，则PC=k?PA，此时k?PA+PB=PC+BP.

3）过点B作BD⊥AM于点D，该垂线段长即为所求最小值，计算垂线段的

解题大招：即当B，P，C三点共线时，k?PA+PB取最小值，最小值为BD的长度.

模型总结：在求形如“k?PA+PB”的式子的最值问题中，关键是构造与k?PA相等的线段，将“k?PA+PB”型问题转化为“PC+PB”型.而这里的PA必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到k?PA的等线段

注意：若k1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可.

【模型拓展】

对形如a?PA+b?PB(ab)的式子，可以先将式子变形为，再求出的最小值，此时只需要构造,作垂线即可求出最小值.

题型01已有相关角直接作垂线

1．（2023·湖南湘西·中考真题）如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，其半径为4．过点B作BE⊥AC于点E，点P为线段BE上一动点（点P不与B，E重合），则CP+12BP

??

【答案】6

【分析】过点P作PD⊥AB，连接CO并延长交AB于点F，连接AO，根据等边三角形的性质和圆内接三角形的性质得到OA=OB=4，CF⊥AB，然后利用含30°角直角三角形的性质得到OE=12OA=2，进而求出BE=BO+EO=6

【详解】如图所示，过点P作PD⊥AB，连接CO并延长交AB于点F，连接AO

??

∵△ABC是等边三角形，BE⊥AC

∴∠ABE=∠CBE=

∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，其半径为4

∴OA=OB=4，CF⊥AB，

∴∠OBA=∠OAB=30°

∴∠OAE=∠OAB=

∵BE⊥AC

∴OE=

∴BE=BO+EO=6

∵PD⊥AB，∠ABE=30°

∴PD=

∴CP+

∴CP+12BP

∵△ABC是等边三角形，BE⊥AC，CF⊥AB

∴CF=BE=6

∴CP+12BP

故答案为：6．

【点睛】此题考查了圆内接三角形的性质，等边三角形的性质，含30°角直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．

2．（21-22八年级下·浙江宁波·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=33x-3分别交x轴、y轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+

【答案】6

【分析】先求出点A，点B坐标，由勾股定理可求AB的长，作点B关于OA的对称点B，可证ΔABB是等边三角形，由直角三角形的性质可得CH＝12AC，则2BC＋AC=2BC+CH，即当点B，点

【详解】解：∵一次函数y=33x-3分别交x轴、y轴于

∴点A（3，0），点B0

∴AO＝3，BO=3

∴AB=O

作点B关于OA的对称点B，连接AB，BC，过点C作CH

∴OB=OB

∴BB

∴AB=AB

∴ΔAB

∵AO⊥BB

∴∠BAO=1

∵CH⊥AB，

∴CH=1

∴2BC+AC=2BC+

∴当点B，点C，点H三点共线时，BC+CH有最小值，即2BC

此时，BH⊥AB，

∴BH＝AH=3

∴B

∴2BC＋AC的最小值为6．

故答案为：6．

【点睛】本题是胡不归问题，考查了一次函数的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，确定点C的位置是解题的关键．

3．（2020·陕西·模拟预测）如图，四边形ABCD是菱形，AB＝8，且∠ABC＝60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则AM+12BM的最小值为

【答案】43

【分析】如图，过点A作AT⊥BC于T，过点M作MH⊥BC于H，根据菱形的性质和30°角的直角三角形的性质可得MH＝12BM，于是可得AM+12BM的最小值即为

【详解】解：如图，过点A