2025年九年级数学中考典型及竞赛训练专题25平面几何的最值问题2(附答案解析精品.pdfVIP

穷则独善其身，达则兼善天下。——《孟子》

九年级数学中考典型及竞赛训练专题25平面几何的最值问题

阅读与思考

几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长度、角度大小、图

形面积）等的最大值或最小值.

求几何最值问题的基本方法有：

1.特殊位置与极端位置法：先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，再进行一般情形下的

推证.

2.几何定理（公理）法：应用几何中的不等量性质、定理.

3.数形结合法等：揭示问题中变动元素的代数关系，构造一元二次方程、二次函数等.

例题与求解

【例1】在RtAABC中，CB=3,C4=4,M为斜边AB±一动点.过点M作MD丄AC于点D,过M作ME丄

CB于点E,则线段DE的最小值为__________________.（四川省竞赛试题）

解题思路：四边形CDMF为矩形，连结CM,则DE=CM,将问题转化为求CM的最小值.

【例2】如图，在矩形ABCD中，4B=20cm,BC=10cm.若在AC,AB上各取一点M,N,使BM+M/V的值

最小，求这个最小值.（北京市竞赛试题）

BM,BA,BM=BM,BM+MN=BM+MN.BM+MN

解题思路：作点8关于C的对称点连结贝J从而要使的值

最小，只需使FM十M/V的值最小，当B,M,N三点共线且B7V丄AB时，BM+MN的值最小.

【例3】如图，己知DABCD,AB=a,BC=b（ab）,P为边上的一动点，直线DP交CB的延长线于Q.求

APBQ的最小值.（永州市竞赛试题）

+

海纳百川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚。——林则徐

22

解题思路：设AP=x,把AP,BQ分别用x的代数式表示，运用不等式以a+b2ab或a+b》2范(当且仅当

a=b时取等号)来求最小值.

【例4］阅读下列材料：

问题如图1,一圆柱的底面半径为5dm,高为5dm,BC是底面直径，求一只蚂蚁从A点出发沿圆柱表面

爬行到C点的最短路线.

小明设计了两条路线：

沿AB剪

开

路线1：侧面展开图中的线段AC.如图2所示.

222222

设路线I的长度为/i，则/i=AC=AB+BC=25+(571)=25+25n.

路线2：高线AB十底面直径BC.如图1所示.

b，22

设路线/的长度为则F=(BCMB)=(5+10)=225.

22222hl.

••/I2-/22=25+257T-225=257r-200=25(7T-8),/.4/2,/.2

所以，应选择路线2.

(1)小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1分米，高AB为5分米继

续按前面的路线进行计算.请你帮小明完成下面的计算：

2