9.4 向量应用（2个知识点+4类热点题型讲练+习题巩固）.docxVIP

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9．4向量应用

课程标准

学习目标

体会向量在解决数学和实际问题中的作用，培养学生的运算、分析和解决实际问题的能力．

（1）能用向量方法解决简单的几何问题.

（2）能用向量方法解决简单的力学问题和其他实际问题.

知识点01向量方法解决平面几何问题的步骤

用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：

（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题．

（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题．

（3）把运算结果“翻译”成几何关系．

【即学即练1】（2024·高一课时练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，点F，G分别是AD，BC的三等分点.设，.

(1)用，表示，.

(2)如果，EF，EG有什么位置关系?用向量方法证明你的结论.

知识点02向量方法解决物理问题的步骤

用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：

（1）问题转化，即把物理问题转化为数学问题．

（2）建立模型，即建立以向量为载体的数学模型．

（3）求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等．

（4）回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题．

【即学即练2】（2024·全国·高一随堂练习）如图，两个力和同时作用在一个物体上，其中的大小为，方向向东，的大小为，方向向北，求它们的合力．

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题型一：利用向量证明平面几何问题

【典例1-1】如图，在中，已知分别为上的点，且.

??

(1)求；

(2)求证：；

(3)若线段上一动点满足，试确定点的位置.

【典例1-2】如图所示，已知在正方形中，E，F分别是边，的中点，与交于点M.

??

(1)设，，用，表示，；

(2)猜想与的位置关系，写出你的猜想并用向量法证明你的猜想.

【方法技巧与总结】

用向量证明平面几何问题的两种基本思路

（1）向量的线性运算法的四个步骤：

①选取基底；

②用基底表示相关向量；

③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系；

④把计算所得结果转化为几何问题．

（2）向量的坐标运算法的四个步骤：

①建立适当的平面直角坐标系；

②把相关向量坐标化；

③利用向量的坐标运算找到相应关系；

④利用向量关系回答几何问题．

【变式1-1】已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点为中点，设与相交于点.

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(1)请用、表示向量；

(2)设和的夹角为，若，且，求证：.

题型二：利用向量解决平面几何求值问题

【典例2-1】如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．

??

(1)求的余弦值．

(2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由．

【典例2-2】如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点.

??

(1)求AM的长度；

(2)求∠MPB的正弦值.

【方法技巧与总结】

（1）用向量法求长度的策略

①根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式求解．

②建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若，则．

（2）用向量法解决平面几何问题的两种思想

①几何法：选取适当的基底（基底中的向量尽量已知模或夹角），将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质求解．

②坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．

【变式2-1】如图，正方形ABCD中，是AB的中点，是BC边上靠近点的三等分点，AF与DE交于点.

(1)设，求的值；

(2)求的余弦值；

(3)求和.

【变式2-2】已知平面四边形中，，向量的夹角为.

(1)求证：；

(2)点是线段中点，求的值.

【变式2-3】在四边形中，，，，其中，为不共线的向量．

(1)判断四边形的形状，并给出证明；

(2)若，，与的夹角为，为中点，求．

【变式2-4】如图，在中，是边的中点，与交于点.

(1)求和的长度；

(2)求.

题型三：向量在物理中的应用

【典例3-1】如图，甲、乙分处河的两岸，欲拉船M逆流而上，需在正前方有的力．已知甲所用的力的大小为，且与M的前进方向的夹角为，求乙所用的力．

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【典例3-2】（1）如图，用两根绳子把重10N的物体W吊在水平杆子上，，，求和处所受力的大小.（忽略绳子重量）

（2）一个物体在一个平面内受到、、三个力的作用，沿合力方向移动了10米，求合力做的位移和功.其中，方向为北偏东；，方向为北偏东；，方向为北偏西.

【方法技巧与总结】

用向量解决物理问题的一般步骤

（1）问题的转化，即把物理问题转化为数学问题．

（2）模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型．

（3）参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值．

（4）问题的答案，即回到问题