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湖北省武汉市部分重点中学2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．两条不同直线，的方向向量分别为，，则这两条直线（????）

A．相交或异面 B．相交 C．异面 D．平行

2．已知椭圆：的离心率为，则（????）

A． B．1 C．3 D．4

3．一束光线从点射出，沿倾斜角为的直线射到轴上，经轴反射后，反射光线所在的直线方程为（????）

A． B．

C． D．

4．实数，满足，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

5．已知的顶点，边上的高所在直线方程为，边上中线所在的直线方程为，则高的长度为（????）

A． B． C． D．

6．在四面体中，已知为等边三角形，为等腰直角三角形，斜边，，则二面角的大小为（????）

A． B． C． D．

7．已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线：交椭圆于，两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（????）

A． B． C． D．

8．已知中心在原点，焦点在轴上，且离心率为的椭圆与经过点的直线交于两点，若点在椭圆内，的面积被轴分成两部分，且与的面积之比为，则面积的最大值为（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知椭圆：，，分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上任意一点.下列说法中正确的是（????）

A．椭圆离心率为 B．的最小值为1

C． D．

10．下列说法正确的是（????）

A．已知点，，若过的直线与线段相交，则直线的倾斜角范围为

B．“”是“直线与直线互相平行”的充要条件

C．曲线：与：恰有四条公切线，则实数的取值范围为

D．圆上有且仅有2个点到直线：的距离都等于

11．如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，，分别是线段，的中点，是线段上的一个动点（不含端点，），则下列说法正确的是（????）

??

A．存在点，使得

B．不存在点，使得异面直线与所成的角为

C．三棱锥体积的取值范围为

D．当点运动到中点时，与平面所成角的余弦值为

12．椭圆有如下的光学性质，从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点.现椭圆的焦点在轴上，中心在坐标原点，左、右焦点分别为、.一束光线从射出，经椭圆镜面反射至，若两段光线总长度为6，且椭圆的离心率为，左顶点和上顶点分别为.则下列说法正确的是（????）

A．椭圆的标准方程为

B．若点在椭圆上，则的最大值为

C．若点在椭圆上，的最大值为

D．过直线上一点分别作椭圆的切线，交椭圆于，两点，则直线恒过定点

三、填空题

13．圆：与圆：的公共弦所在的直线方程为.

14．所有棱长都为1的平行六面体中，若为与的交点，，，则的值为.

15．已知椭圆：的左，右焦点分别为，，过点且垂直于轴的直线与椭圆交于、两点，、分别交轴于、两点，的周长为4.过作外角平分线的垂线与直线交于点，则.

16．已知直线与圆：交于，两点，且，则的最大值为.

四、解答题

17．在平面直角坐标系中，已知射线：，：.过点作直线分别交射线，于点A，.

(1)已知点，求点A的坐标；

(2)当线段的中点为时，求直线的方程.

18．如图，和是不在同一平面上的两个矩形，，，记，，.请用基底，表示下列向量：

??

(1)；

(2)；

19．已知圆，圆：，圆：，这三个圆有一条公共弦.

(1)当圆的面积最小时，求圆的标准方程；

(2)在（1）的条件下，直线同时满足以下三个条件：

（i）与直线垂直；

（ii）与圆相切；

（iii）在轴上的截距大于0，

若直线与圆交于，两点，求.

20．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，为的中点，.为上的一点，已知.

??

(1)证明：平面平面；

(2)求平面与平面夹角的余弦值.

21．已知，，是椭圆上的三点，其中、两点关于原点对称，直线和的斜率满足.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)点是椭圆长轴上的不同于左右顶点的任意一点，过点作斜率不为0的直线，与椭圆的两个交点分别为、，若为定值，则称点为“稳定点”，问：是否存在这样的稳定点？若有，试求出所有的“稳定点”，并说明理由；若没有，也请说明理由.

22．已知椭圆：的焦距为，且点在椭圆上.

(1)求椭圆的方程；

(2)若是椭圆上的三点，且直线与轴不垂直，点为坐标原点，，则当的面积最大时，求的值.

参考答案：

1．A

2．C

3．D

4．C

5．C?

6．A

7．B

8．D

9．BD

10．AC

11．BC

12．ACD

13．

14．

15．

16．30

17．(1)

(2)

【分析】（1）根据已知先求出直线的方程，与的方程联立，即可得出答案；

（2）设，，，，根据中点坐标公式以及已知求出的值，即