高中数学学案 　正弦定理的应用.docxVIP

第二课时正弦定理的应用

课标要求1.能根据条件判断三角形解的个数.2.能利用正弦定理、三角恒等变换解决较为复杂的三角形问题.

题型一已知两边及一边对角，判定三角形解

例1根据下列条件，判断解三角形时是否有解，若有解，有几个解？

(1)a＝eq\r(3)，b＝eq\r(2)，A＝120°；

(2)a＝60，b＝48，B＝60°；

(3)a＝7，b＝5，A＝80°；

(4)a＝14，b＝16，A＝45°.

解法一(从代数角度)

(1)∵A＝120°，由eq\f(b,sinB)＝eq\f(a,sinA)，得sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(\r(2)×\f(\r(3),2),\r(3))＝eq\f(\r(2),2)，

∴B＝45°，有一解.

(2)由eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)得sinA＝eq\f(asinB,b)＝eq\f(60×\f(\r(3),2),48)＝eq\f(5\r(3),8)＞1，无解.

(3)由eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)得sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(5sin80°,7)＜1，

又∵b＜a，∴B＜80°，有一解.

(4)由eq\f(14,sin45°)＝eq\f(16,sinB)得sinB＝eq\f(4\r(2),7)＜1，

又b＞a，∴B＞A，

∴B有一个锐角值和一个钝角值，即有两解.

法二(从几何角度)

(1)∵A＞90°，且a＞b，

∴有一解，即这样的三角形是唯一的.

(2)∵asinB＝60×eq\f(\r(3),2)＝30eq\r(3)，b＝48，

∴b＜asinB，无解.

(3)∵a＝7，b＝5，A＝80°，a＞b，有一解，

即这样的三角形是唯一的.

(4)∵bsinA＝16×eq\f(\r(2),2)＝8eq\r(2)，a＝14，

∴bsinA＜a＜b，有两解，

即符合条件的三角形有两个.

思维升华已知两边和一边对角解三角形，或判定解的个数有两个基本方法：

(1)(从代数角度)已知a、b、A求B.则sinB＝eq\f(b,a)sinA，求出角B的可能值，再结合大边对大角判断解的个数.(2)(从几何角度)如下表，过点C作AB的垂线，根据边a与AB边上的高的大小关系来判断解的个数.

A为锐角

A为钝角或直角

图形

关系式

a＝bsinA，

或a≥b

bsinA＜

a＜b

a＜bsinA

a＞b

a≤b

解的个数

一解

两解

无解

一解

无解

训练1已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，判断三角形是否有解，若有解，则解三角形.

(1)a＝10，b＝20，A＝80°；

(2)a＝2eq\r(3)，b＝6，A＝30°.

解(1)由正弦定理得sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(20sin80°,10)

＝2sin80°2sin60°＝eq\r(3)1，∴无解.

(2)a＝2eq\r(3)，b＝6，a＜b，A＝30°＜90°，

∵bsinA＝6sin30°＝3，a＞bsinA，

∴bsinA＜a＜b，∴本题有两解.

由正弦定理得sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(6sin30°,2\r(3))＝eq\f(\r(3),2)，

又∵0°＜B＜150°，

∴B＝60°或B＝120°.

当B＝60°时，C＝90°，

c＝eq\f(asinC,sinA)＝eq\f(2\r(3)sin90°,sin30°)＝4eq\r(3)；

当B＝120°时，C＝30°，

c＝eq\f(asinC,sinA)＝eq\f(2\r(3)sin30°,sin30°)＝2eq\r(3).

∴当B＝60°时，C＝90°，c＝4eq\r(3)；

当B＝120°时，C＝30°，c＝2eq\r(3).

题型二边角互化求值

例2(1)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acosB＝(eq\r(2)c－b)

cosA，则角A的大小为()

A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,4)

C.eq\f(π,3) D.eq\f(π,2)

(2)已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若asinAsinB＋bcos2A＝eq\r(2)a，则eq\f(b,a)＝()

A.2eq\r(3) B.2eq\r(2)

C.eq\r(3) D.eq\r(2)

答案(1)B(2)D

解析(1)由正弦定理得sinAcosB＝(eq\r(2)sinC－sinB)cosA，

即sin(A＋B)