2025年大一高数知识点总结摘要.pdfVIP

百川东到海，何时复西归?少壮不努力，老大徒伤悲。——汉乐府

大一高数知识点总结摘要

高等数学是理工科学生必修的一门基础课程，其内容广泛，知

识点重要而繁多。本文将对大一高数所涉及的一些重要的知识点

进行总结摘要，以帮助同学们复习和巩固相关知识。

1.极限与连续

1.1极限的定义与性质

在进行极限的计算之前，首先需要了解极限的定义和相关性质。

极限的定义是研究一个函数或者数列在某个特定点或者无穷点的

趋势。具体而言，如果一个函数f(x)在x趋近于a的时候，其函数

值无限接近于一个常数L，那么我们称L为f(x)当x趋近于a时的

极限。

1.2连续函数与间断点

连续函数的概念是指函数在一个区间内始终是连续的，没有突

变或者间断。连续函数的一个重要条件是在其定义域内不存在间

断点。间断点分为可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点，每种

类型的间断点都有其特征和性质。

1.3中值定理与泰勒展开

操千曲尔后晓声，观千剑尔后识器。——刘勰

对于连续函数，中值定理是一个重要的结论。根据中值定理，

如果一个函数在某个区间内连续，并且在区间的两个端点处取到

不同的函数值，那么在这个区间内一定存在一个点，其函数值等

于函数在两个端点处函数值的平均数。

泰勒展开是一种用无穷次求导来表示函数附近的逼近式，它可

以将复杂的函数在某一点附近用一个多项式来近似表示。

2.微分学

2.1导数与微分

导数是描述函数变化速率的重要工具，它表示函数在某一点处

的变化趋势。导数的计算方法包括利用导数的定义、求导法则以

及高阶导数的计算。

微分是导数的一个重要应用，它主要用于描述一个函数在某一

点附近的线性逼近。微分在实际问题中有着非常广泛的应用，比

如在物理学中对于速度、加速度等的描述。

2.2函数的增减与极值

函数的增减与极值求解是微分学中的重要内容。通过对函数进

行导数运算，可以得到函数在某一区间内的增减趋势，以及极值

点的位置。

长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。——李白

2.3高阶导数与凸凹性

高阶导数是对导数的进一步推广，它描述了函数变化的更多层

次。通过高阶导数的计算，可以得到函数的凸凹性质。

3.积分学

3.1不定积分与定积分

不定积分是积分学的一个重要概念，它表示了一个函数的原函

数。与不定积分相对应的是定积分，定积分表示一个函数在某一

区间上的“面积”，可以用来求解曲线下的面积、弧长等问题。

3.2牛顿-莱布尼茨公式

牛顿-莱布尼茨公式是积分学中的一个基本定理，它建立了微积

分中的微分与积分之间的联系。根据牛顿-莱布尼茨公式，如果一

个函数在某一区间内有原函数，那么该函数在该区间内的定积分

等于原函数在区间端点处的函数值之差。

3.3定积分的应用

定积分在实际问题中有着广泛的应用。通过利用定积分的性质，

可以求解曲线下的面积、弧长、物体的质量、质心等问题。

百学须先立志。——朱熹

以上是大一高数的一些重要知识点的摘要总结，希望对你的学

习和复习有所帮助。当然，这只是一个简要的概述，如果想要更

加深入地了解这些知识点，建议参考相关教材和资料进行学习。