高中数学学案 　组合数的应用.docxVIP

第3课时组合数的应用

[学习目标]1.掌握具有限制条件的组合问题的解决方法.2.理解相同元素和不同元素的分组分配问题．

一、有条件限制的组合问题

例1课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？

(1)至少有一名队长当选；

(2)至多有两名女生当选；

(3)既要有队长，又要有女生当选．

解(1)Ceq\o\al(5,13)－Ceq\o\al(5,11)＝825(种)．

(2)至多有2名女生当选含有三类：

有2名女生当选；只有1名女生当选；没有女生当选，

所以共有Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,8)＋Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(4,8)＋Ceq\o\al(5,8)＝966(种)选法．

(3)分两类：

第一类，女队长当选，有Ceq\o\al(4,12)＝495(种)选法，

第二类，女队长没当选，剩余女生4人分别有1人，2人，3人，4人当选，有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,7)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,7)＋Ceq\o\al(4,4)＝295(种)选法，

所以共有495＋295＝790(种)选法．

反思感悟有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类

(1)“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数．

(2)“至多”“至少”问题，常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏．

跟踪训练1(1)某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：①任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；②任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭．则每天不同午餐的搭配方法共有()

A．210种B．420种C．56种D．22种

答案A

解析由分类加法计数原理知，两类配餐的搭配方法之和即为所求，所以每天不同午餐的搭配方法共有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,7)＝210(种)．

(2)为迎接国庆，某校举办了“祖国，你好”诗歌朗诵比赛．该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名学生中至少有1人参加，且当这3名学生都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为()

A．720 B．768

C．810 D．816

答案B

解析根据题意知，在7名学生中选派4名学生参加诗歌朗诵比赛，朗诵顺序有Aeq\o\al(4,7)＝840(种)，

其中甲、乙、丙都没有参加，即选派其他四人参加，朗诵顺序有Aeq\o\al(4,4)＝24(种)，则甲、乙、丙这3名学生中至少有1人参加，朗诵顺序有840－24＝816(种)；

其中当甲、乙、丙都参加且甲和乙相邻时，朗诵顺序有Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝48(种)，

则满足题意的朗诵顺序有816－48＝768(种)．

二、不同元素的分组分配问题

例26本不同的书，分为3组，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？

(1)每组2本；

(2)一组1本，一组2本，一组3本(不平均分组)；

(3)一组4本，另外两组各1本(局部平均分组)．

解(1)每组2本，均分为3组的分组种数为

eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(3,3))＝eq\f(15×6×1,6)＝15.

(2)一组1本，一组2本，一组3本的分组种数为

Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,1)＝20×3＝60.

(3)一组4本，另外两组各1本的分组种数为

eq\f(C\o\al(4,6)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))＝eq\f(15×2,2)＝15.

延伸探究

1．6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本，有多少种不同的方法？

解在本例(2)的基础上再进行全排列，所以一共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,3)＝360(种)方法．

2．6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种不同的方法？

解可以分为三类情况：①“2,2,2型”，有Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝9