高中数学学案 　基本计数原理的应用.docx

第2课时基本计数原理的应用

[学习目标]1.进一步理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别.2.能正确应用两个计数原理解决实际问题．

导语

随着人们生活水平的提高，车辆拥有量迅速增长，汽车牌号仅用一个字母和数字表示已经不能满足需求，再加上许多车主还希望车牌号“个性化”，因此，车牌号码需要进行扩容，这样就需要“数出”某种方案下的所有号码数，号码的个数是如何进行计算的呢？今天我们就来学习一下．

一、组数问题

例1用0,1,2,3,4五个数字．

(1)可以排出多少个不同的三位数字的密码？

(2)可以排成多少个不同的三位数？

(3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？

解(1)三位数字的密码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，故共可排成

5×5×5＝125(个)不同的三位数字的密码．

(2)三位数的百位不能为0，但可以有重复数字，

首先考虑百位的排法，除0外共有4种排法，十位、个位都可以排0，有5种排法，

因此，共可排成4×5×5＝100(个)不同的三位数．

(3)能被2整除的数即偶数，个位数字可取0,2,4，

因此，可以分两类，一类是个位数字为0，则有4×3＝12(种)排法；

一类是个位数字不为0，则个位有2种排法，即2或4，再排百位，因0不能在百位，故有3种排法，十位有3种排法，则有2×3×3＝18(种)排法．

故共有12＋18＝30(种)排法，

即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数．

反思感悟常见的组数问题及解题原则

(1)常见的组数问题：奇数、偶数、整除数、各数位上的和或数字间满足某种特殊关系等．

(2)常用的解题原则：首先明确题目条件对数字的要求，针对这一要求通过分类、分步进行组数；其次注意特殊数字对各数位上数字的要求，如偶数的个位数字为偶数且两位及其以上的数首位数字不能是0，被3整除的数各位数上的数字之和能被3整除等；最后先分类再分步从特殊数字或特殊位置进行组数．

跟踪训练1(1)从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为()

A．24B．18C．12D．6

答案B

解析由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇，偶奇奇．如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析(3种情况)，之后十位(2种情况)，最后百位(2种情况)，共12个；如果是第二种偶奇奇的情况，个位(3种情况)，十位(2种情况)，百位(不能是0，一种情况)，共6个，因此奇数总共有12＋6＝18(个)．

(2)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()

A．243B．252C．261D．279

答案B

解析0,1,2，…，9共能组成9×10×10＝900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648(个)，

∴有重复数字的三位数有900－648＝252(个)．

二、抽取与分配问题

例2(1)高三年级的四个班到甲、乙、丙、丁、戊五个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有()

A．360种 B．420种

C．369种 D．396种

答案C

解析方法一(直接法)以甲工厂分配班级情况进行分类，共分为四类：

第一类，四个班级都去甲工厂，此时分配方案只有1种情况；

第二类，有三个班级去甲工厂，剩下的一个班级去另外四个工厂，其分配方案共有4×4＝16(种)；

第三类，有两个班级去甲工厂，另外两个班级去其他四个工厂，其分配方案共有6×4×4＝96(种)；

第四类，有一个班级去甲工厂，其他三个班级去另外四个工厂，其分配方案有4×4×4×4＝256(种)．

综上所述，不同的分配方案有1＋16＋96＋256＝369(种)．

方法二(间接法)先计算四个班自由选择去何工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情况，即5×5×5×5－4×4×4×4＝369(种)方案．

(2)甲、乙、丙三人各写一张贺卡，放在一起，再各取一张不是自己的贺卡，则不同取法的种数有________．

答案2

解析不妨由甲先来取，共2种取法，而甲取到谁的将由谁在甲取后第二个来取，余下来的人，都只有一种选择，所以不同的取法共有2×1×1＝2(种)．

延伸探究若将“甲、乙、丙三人”改为“甲、乙、丙、丁四人”，其他条件不变，则有多少种不同的取法？

解不妨由甲先来取，共3种取法，而甲取到谁的将由谁在甲取后第二个来取，共3种取法，余下来的人，都只有一种选择，所以不同的取法共有3×3×1×1＝9(种)．

反思感悟选(抽)取与分配问题的常见类型及其解法

(1)当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树形图法、框图法或者图表法．

(2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：

①直接使