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矩阵分析与计算课件南京理工大学

目录矩阵基本概念与性质线性方程组与矩阵关系矩阵分解方法及其应用矩阵函数与微积分运算广义逆矩阵求解方法数值计算中矩阵稳定性分析

矩阵基本概念与性质01

矩阵定义由m×n个数aij(i=1,2,...,m;j=1,2,...,n)排成的m行n列的数表称为m行n列的矩阵，简称m×n矩阵。记作：A=(aij)m×n，这m×n个数称为矩阵A的元素，简称为元，数aij位于矩阵A的第i行第j列，称为矩阵A的(i,j)元，以数aij为(i,j)元的矩阵可记为(aij)。矩阵表示方法通常用大写字母A、B、C...来表示矩阵，如A=(aij)m×n表示一个m行n列的矩阵。矩阵定义及表示方法

矩阵的加法两个矩阵相加，要求它们的行数和列数必须相同，相加时对应元素相加。矩阵的数乘一个数与一个矩阵相乘，用该数与矩阵中的每一个元素相乘。矩阵的乘法两个矩阵相乘，要求第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数相同，相乘时对应元素相乘再相加。矩阵的转置把矩阵A的行和列互换，得到的矩阵称为A的转置矩阵，记作AT。矩阵基本运算规则

方阵行数和列数相等的矩阵称为方阵。对角矩阵除主对角线外的元素全为零的方阵称为对角矩阵。零矩阵所有元素都是零的矩阵称为零矩阵。单位矩阵主对角线上的元素全为1，其余元素全为零的方阵称为单位矩阵。特殊类型矩阵介绍

矩阵性质总结矩阵的加法满足交换律和结合律。矩阵的数乘满足分配律。矩阵的乘法不满足交换律和结合律，但满足分配律和结合律的一部分。方阵的转置等于其本身。方阵的行列式等于其转置行列式。

线性方程组与矩阵关系02

线性方程组通常由一组包含未知数的线性方程组成，可以表示为Ax=b的形式，其中A是系数矩阵，x是未知数向量，b是常数向量。线性方程组可以进一步表示为矩阵形式，即通过一个系数矩阵和一个常数向量来表示整个方程组。这种表示形式便于进行矩阵运算和分析。一般形式矩阵形式线性方程组表示形式

系数矩阵与增广矩阵关系系数矩阵线性方程组的系数矩阵是由方程组中各个方程的系数按照一定顺序排列而成的矩阵。它反映了方程组中未知数之间的线性关系。增广矩阵增广矩阵是在系数矩阵的基础上，将常数向量添加到矩阵的最后一列而形成的矩阵。增广矩阵同时包含了方程组的系数和常数项，便于进行整体分析和计算。

线性方程组解的存在性可以通过系数矩阵的秩和增广矩阵的秩来判断。当两者相等时，方程组有解；否则，方程组无解。判定定理当系数矩阵的行列式不为零时，线性方程组有唯一解；当系数矩阵的行列式为零，但增广矩阵的秩仍等于系数矩阵的秩时，方程组有无穷多解；当增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩时，方程组无解。特殊情况线性方程组解存在性判断

唯一解当线性方程组的系数矩阵满秩，即其行列式不为零时，方程组有唯一解。此时可以通过矩阵求逆或高斯消元法等方法求解出未知数的具体数值。无解当线性方程组的增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩时，方程组无解。这通常意味着方程组中的某些方程之间存在矛盾，无法同时满足所有方程的条件。无穷多解当线性方程组的系数矩阵不满秩，但增广矩阵的秩仍等于系数矩阵的秩时，方程组有无穷多解。此时方程组中存在自由未知数，可以取任意值而使得方程组成立。无穷多解的情况可以通过参数表示法或通解公式来描述。唯一解、无解和无穷多解情况讨论

矩阵分解方法及其应用03

将一个矩阵表示为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积。不是所有矩阵都可以进行LU分解，需要满足一定条件。LU分解定义LU分解存在性LU分解原理及步骤

对矩阵进行初等行变换，将其变为阶梯形矩阵。LU分解步骤将阶梯形矩阵的每行首个非零元素变为1，得到单位阶梯形矩阵。LU分解原理及步骤

对单位阶梯形矩阵进行列变换，得到上三角矩阵U。通过上三角矩阵U和初等行变换的逆操作，得到下三角矩阵L。LU分解原理及步骤

0102QR分解定义将一个矩阵分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积。QR分解存在性对于任意实矩阵或复矩阵，都存在QR分解。Gram-Schmid…通过对原矩阵的列向量进行正交化和单位化，得到正交矩阵Q和上三角矩阵R。Householder…通过Householder变换将原矩阵变为上三角矩阵，同时得到正交矩阵Q。Givens旋转方法通过一系列Givens旋转将原矩阵变为上三角矩阵，同时得到正交矩阵Q。030405QR分解方法介绍

奇异值分解定义对于任意实矩阵或复矩阵，可以将其表示为三个矩阵的乘积形式，其中两个是正交矩阵，一个是对角矩阵。特征值分解定义对于一个方阵，可以将其表示为特征向量和特征值的乘积形式。适用范围不同特征值分解仅适用于方阵，而奇异值分解适用于任意实矩阵或复矩阵。性质不同特征值分解得到的特征向量是正交的，