专题13 统计与随机变量及其分布小题综合（解析版）.docx

专题13统计与随机变量及其分布小题综合

解题秘籍

解题秘籍

1．离散型随机变量定义

随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．

2．离散型随机变量的分布列及性质

(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表

X

x1

x2

…

xi

…

xn

P

p1

p2

…

pi

…

pn

称为离散型随机变量X的概率分布列．

(2)离散型随机变量的分布列的性质：

①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1.

3．离散型随机变量均值

(1)一般地，若离散型随机变量X的分布列为：

X

x1

x2

…

xi

…

xn

P

p1

p2

…

pi

…

pn

则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．

(2)若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b.

(3)①若X服从两点分布，则E(X)＝p；

②若X～B(n，p)，则E(X)＝np.

4．离散型随机变量方差

(1)设离散型随机变量X的分布列为

X

x1

x2

…

xi

…

xn

P

p1

p2

…

pi

…

pn

则(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度．而D(X)＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－E(X))2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，称D(X)为随机变量X的方差，并称其算术平方根eq\r(D?X?)为随机变量X的标准差．

(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．

(3)若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)．

(4)若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)．

5.独立重复试验与二项分布

独立重复试验

二项分布

定义

在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验

在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率

计算

公式

Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)

在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)

独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略

(1)在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率．

(2)在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，继而求得概率．

两点分布

X

0

1

P

1－p

p

这样的分布列叫做两点分布列．

如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从两点分布，而称p＝P(X＝1)为成功概率．

超几何分布列

一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称分布列为超几何分布列．如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布.

X

0

1

…

m

P

eq\f(C\o\al(0,M)C\o\al(n－0,N－M),C\o\al(n,N))

eq\f(C\o\al(1,M)C\o\al(n－1,N－M),C\o\al(n,N))

…

eq\f(C\o\al(m,M)C\o\al(n－m,N－M),C\o\al(n,N))

正态分布

正态曲线的特点

(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；

(2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；

(3)曲线在x＝μ处达到峰值eq\f(1,σ\r(2π))；

(4)曲线与x轴之间的面积为1；

(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；

(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．

正态分布的三个常用数据

(1)P(μ－σX≤μ＋σ)＝0．6826；

(2)P(μ－2σX≤μ＋2σ)＝0．9544；

(3)P(μ－3σX≤μ＋3σ)＝0．9974.

9.简单随机抽样

(1)定义：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤