专题14 立体几何小题综合（原卷版）.docx

专题14立体几何小题综合

解题秘籍

解题秘籍

立体几何基础公式

所有椎体体积公式：，所有柱体体积公式：，球体体积公式：

球体表面积公式：，圆柱：

圆锥：

长方体（正方体、正四棱柱）的体对角线的公式

已知长宽高求体对角线：

已知共点三面对角线求体对角线：

棱长为的正四面体的内切球的半径为,外接球的半径为.

欧拉定理(欧拉公式)

(简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F).

（1）=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为的多边形，则面数F与棱数E的关系：；

（2）若每个顶点引出的棱数为，则顶点数V与棱数E的关系：.

5．空间的线线平行或垂直

设，，则

；

.

夹角公式

设，b＝，则

.

6．异面直线所成角

=

（其中（）为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量）

7．直线与平面所成角，(为平面的法向量).

8..二面角的平面角

（，为平面，的法向量）.

异面直线间的距离

(是两异面直线，其公垂向量为，分别是上任一点，为间的距离).

点到平面的距离

（为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）.

模拟训练

模拟训练

一、单选题

1．（22·23下·无锡·三模）已知，是空间中两条不同的直线，，，是空间中三个不同的平面，则下列命题中错误的是（????）

A．若，，则

B．若，，则

C．若，，，则

D．若，，，则

2．（22·23·宁德·二模）在长方体中，和与底面所成的角分别为和，则异面直线和所成角的余弦值为（????）

A． B． C． D．

3．（22·23下·长沙·三模）已知平行六面体的各棱长都为，，、、分别是棱、、的中点，则（????）

A．平面

B．平面平面

C．平面与平面间的距离为

D．直线与平面所成角的正弦值为

4．（22·23下·湖北·三模）如图，把一个长方形的硬纸片沿长边所在直线逆时针旋转得到第二个平面，再沿宽边所在直线逆时针旋转得到第三个平面，则第一个平面和第三个平面所成的锐二面角大小的余弦值是（????）

??

A． B． C． D．

5．（22·23下·黄冈·二模）已知三棱锥的四个顶点都在半径为2的外接球上，分别是和的中点，，，当取得最大值时，三棱锥的体积为（????）

A． B． C． D．

6．（22·23·潍坊·三模）我国古代名著《张邱建算经》中记载：“今有方锥，下广二丈，高三丈．欲斩末为方亭，令上方六尺．问：斩高几何？”大致意思是：“有一个正四棱锥的下底面边长为二丈，高为三丈，现从上面截去一段，使之成为正四棱台，且正四棱台的上底面边长为六尺，则截去的正四棱锥的高是多少？”按照上述方法，截得的该正四棱台的体积为（????）（注：1丈尺）

A．11676立方尺 B．3892立方尺

C．立方尺 D．立方尺

7．（22·23·山东·二模）正四棱柱中，，为底面的中心，是棱的中点，正四棱柱的高，点到平面的距离的最大值为（????）

A． B． C． D．

8．（22·23·福州·三模）如图，在圆台OO1中，，点C是底面圆周上异于A、B的一点，，点D是BC的中点，l为平面与平面的交线，则交线l与平面所成角的大小为（????）

??

A． B． C． D．

9．（22·23下·浙江·二模）在平行四边形中，角，将三角形沿翻折到三角形，使平面平面.记线段的中点为，那么直线与平面所成角的正弦值为（????）

A． B． C． D．

10．（22·23下·盐城·三模）动点在正方体从点开始沿表面运动，且与平面的距离保持不变，则动直线与平面所成角正弦值的取值范围是（????）

A． B． C． D．

11．（22·23·衡水·一模）已知正三棱柱，过底边的平面与上底面交于线段，若截面将三棱柱分成了体积相等的两部分，则（????）

A． B． C． D．

12．（22·23·保定·二模）如图，在长方体中，，，对角线与平面交于点．则与面所成角的余弦值为（????）

??

A． B． C． D．

13．（2023·遂宁·三模）如图，正方体的棱长为2，线段上有两个动点（在的左边），且．下列说法不正确的是（????）

A．当运动时，二面角的最小值为

B．当运动时，三棱锥体积不变

C．当运动时，存在点使得

D．当运动时，二面角为定值

14．（22·23·黄山·二模）如图1，将一块边长为20的正方形纸片剪去四个全等的等腰三角形，，再将剩下的部分沿虚线折成一个正四棱锥，使与重合，与重合，与重合，与重合，点重合于点，如图2.则正四棱锥体积的最大值为（????）

A． B． C． D．

15．（22·23下·绍兴·二模）如图，为直角梯形，.连，将沿翻折成三棱锥，当三棱锥外接球表面积的最小值时，二面角的余弦值为（????）

A． B．0 C． D．

二、多选题

16．（22·23·南京·一模）如图，是长方体，是的中点，直线交平面于点M，则