高考数学总复习《正弦定理和余弦定理》专项测试卷（含答案）.docx

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高考数学总复习《正弦定理和余弦定理》专项测试卷（含答案）

学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________

【知识点1解三角形几类问题的解题思路】

1.正弦定理、余弦定理解三角形的两大作用

(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素。

(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系.

2.判定三角形形状的途径：

(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；

(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.

无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.

3.对三角形解的个数的研究

已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定.

已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三

角形不能被唯一确定.

(1)从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已知

a,b和A，解三角形为例加以说明.

由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得：

①若B=1，则满足条件的三角形的个数为0；

②若B==1，则满足条件的三角形的个数为1；

③若B=1，则满足条件的三角形的个数为1或2.

显然由0B=1可得B有两个值，一个大于，一个小于，考虑到“大边对大角”、“三

角形内角和等于”等，此时需进行讨论.

4.与三角形面积有关问题的解题策略：

(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积；

(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量.

【知识点2测量问题的基本类型和解决思路】

1．测量问题

1.测量距离问题的基本类型和解决方案

当AB的长度不可直接测量时，求AB的距离有以下三种类型：

类型

简图

计算方法

A,B间不可达也不可视

测得AC=b，BC=a，C的大小，则由余弦定理得

B,C与点A可视但不可达

测得BC=a，B，C的大小，则A=π-(B+C)，由正弦定理得

C,D与点A,B均可视不可达

测得CD=a及∠BDC,∠ACD,∠BCD,∠ADC的度数.在△ACD中，用正弦定理求AC；在△BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC中，用余弦定理求AB.

2.测量高度问题的基本类型和解决方案

当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度有以下三种类型：

类型

简图

计算方法

底部

可达

测得BC=a，C的大小，AB=a·tanC.

底部不可达

点B与C,D共线

测得CD=a及∠ACB与∠ADB的度数.

先由正弦定理求出AC或AD,再解直角三角形得AB的值.

点B与C,D不共线

测得CD=a及∠BCD,∠BDC,∠ACB的度数.

在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值.

3.测量角度问题的解决方案

测量角度问题主要涉及光线(入射角、折射角)，海上、空中的追及与拦截，此时问题涉及方向角、方

位角等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念.解决此类问题的关键是根据题意、图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，然后解三角形即可.

【题型1正、余弦定理求三角形的边与角】

【例1】（2023·江西上饶·统考二模）在△ABC中，∠C的角平分线交AB于点D，∠B=π6，BC=33，AB=3，则CD=

A．362 B．32 C．3

【变式1-1】（2023·四川巴中·统考一模）在△ABC中，若2cos2A?cosA=2

A．π6 B．π3 C．2π

【变式1-2】（2023·四川泸州·泸州老窖天府中学校考模拟预测）在ΔABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=1，c=23，bsinA=asinπ3

A．37 B．217 C．2112

【变式1-3】（2023·河南南阳·统考二模）△ABC是单位圆的内接三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+b2?

A．2 B．22 C．3

【题型2\t/gzsx/zsd28612/_blank\o向量坐标的线性运算解决几何问题】

【例2】（2023·北京海淀·中央民族大学附属中学校考模拟预测）在△ABC中，若a=2bcosC，则△ABC一定是（

A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰或直