高中数学一轮总复习第一章　§1.3　不等式的基本性质.docx

§1.3不等式的基本性质

课标要求1.掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质，并能简单应用．

知识梳理

1．两个实数比较大小的方法

作差法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b0?ab，,a－b＝0?a＝b，,a－b0?ab))(a，b∈R)．

2．等式的性质

性质1对称性：如果a＝b，那么b＝a；

性质2传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；

性质3可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；

性质4可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；

性质5可除性：如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).

3．不等式的性质

性质1对称性：ab?ba；

性质2传递性：ab，bc?ac；

性质3可加性：ab?a＋cb＋c；

性质4可乘性：ab，c0?acbc；ab，c0?acbc；

性质5同向可加性：ab，cd?

a＋cb＋d；

性质6同向同正可乘性：ab0，cd0?acbd；

性质7同正可乘方性：ab0?anbn(n∈N，n≥2)．

常用结论

不等式的两类常用性质

(1)倒数性质

①ab，ab0?eq\f(1,a)eq\f(1,b)；

②ab0?eq\f(1,a)eq\f(1,b)；

③ab0,0cd?eq\f(a,c)eq\f(b,d)；

④0axb或axb0?eq\f(1,b)eq\f(1,x)eq\f(1,a).

(2)有关分数的性质

若ab0，m0，则

①真分数的性质

eq\f(b,a)eq\f(b＋m,a＋m)，eq\f(b,a)eq\f(b－m,a－m)(b－m0)；

②假分数的性质

eq\f(a,b)eq\f(a＋m,b＋m)，eq\f(a,b)eq\f(a－m,b－m)(b－m0)．

自主诊断

1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)

(1)两个实数a，b之间，有且只有ab，a＝b，ab三种关系中的一种．(√)

(2)若eq\f(b,a)1，则ba.(×)

(3)同向不等式具有可加性和可乘性．(×)

(4)若eq\f(1,a)eq\f(1,b)，则ba.(×)

2．(必修第一册P43T8改编)已知非零实数a，b满足ab，则下列不等式中一定成立的是()

A．lnalnb B.eq\f(1,a)eq\f(1,b)

C．a2b2 D．a3b3

答案D

解析对于A，当ab0时，不等式无意义，故A错误；对于B，当a0b时，eq\f(1,a)eq\f(1,b)，故B错误；对于C，当ab0时，a2b2，故C错误；对于D，当ab时，a3b3成立，故D正确．

3．(必修第一册P43T10改编)已知b克糖水中含有a克糖(ba0)，再添加m克糖(m0)(假设全部溶解)，糖水变甜了．请将这一事实表示成一个不等式为________．

答案eq\f(a,b)eq\f(a＋m,b＋m)

解析eq\f(a,b)eq\f(a＋m,b＋m).

证明：eq\f(a,b)－eq\f(a＋m,b＋m)＝eq\f(a?b＋m?－b?a＋m?,b?b＋m?)＝eq\f(m?a－b?,b?b＋m?)，

∵ba0，m0，∴a－b0，

∴eq\f(m?a－b?,b?b＋m?)0，∴eq\f(a,b)eq\f(a＋m,b＋m).

4．(必修第一册P42T5改编)已知2a3，－2b－1，则a＋2b的取值范围为________．

答案(－2,1)

解析因为－2b－1，所以－42b－2，又2a3，所以－2a＋2b1.

题型一数(式)的大小比较

例1(1)(多选)下列不等式中正确的是()

A．x2－2x－3(x∈R)

B．a3＋b3≥a2b＋ab2(a，b∈R)

C．a2＋b22(a－b－1)

D．若ab0，则a2－b2eq\f(1,a)－eq\f(1,b)

答案AD

解析∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥20，

∴x2－2x－3，故A正确；

a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝

(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)．

∵(a－b)2≥0，a＋b的符号不确定，

∴a3＋b3与a2b＋ab2的大小不确定，故B错误；

∵a2＋b2－2a＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，

∴a2＋b2≥2(a－b－1)，故C错误；

a2－b2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－\f(1,b)))＝(a－b)(a＋b)－eq\f(b－a,ab)＝(a－b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋b＋\f(1,ab)))0，故选项D正确．

(2