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2024-2025学年湖南省长沙市雅礼中学九年级（上）人才选拔数学试卷

一、选择题

1．（3分）若实数a、b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则的值是（）

A．﹣20 B．2 C．2或﹣20 D．

2．（3分）设x2﹣px+q＝0的两实根为α，β，而以α2，β2为根的一元二次方程仍是x2﹣px+q＝0，则数对（p，q）的个数是（）

A．2 B．3 C．4 D．0

3．（3分）在正方形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°1、S2、S3、S4，则等式一定成立的是（）

A．S1＝S3 B．S1+S3＝S2

C．S1+S3+S4＝S2 D．S3＝S4

4．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c对称轴为x＝﹣1，且经过点（1，0）．（1）4a﹣2b+c＜0；（2）；（3）c＝3a﹣3b；（4）直线y＝2x+2与其交点的横坐标分别为x1，x2，则x1+x2+x1x2＝﹣5．正确的有几个．（）

A．4 B．3 C．2 D．1

5．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在同一平面内有一动点D，且点D与点B分别位于线段AC的两侧，CD，当∠ADC＝∠B时（）

A．4 B． C． D．6

6．（3分）AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，I为△ABC内心，OI⊥AD与点I，CD＝4（）

A． B． C． D．5

7．（3分）已知y＝x2+6ax﹣a与x轴有两个不同交点（x1，0），（x2，0），且﹣＝8a﹣3．则a＝（）

A．0 B． C．1 D．0或

8．（3分）正△ABC中，D、E分别在AC、AB上，BE＝2CD，作DF⊥DE交BC于点F，若要求得C△ABC，只需知道（）

A．C△ADE B．S△EDF C．C△EDF D．C△BEF

9．（3分）x1，x2，x3，x4，x5为互不相等的正偶数，且（2024﹣x1）（2024﹣x2）（2024﹣x3）（2024﹣x4）（2024﹣x5）＝242，则++++的末位是（）

A．2 B．4 C．6 D．8

10．（3分）如图，设O是四边形ABCD的对角线AC，BD的交点，且BC＝3，AD＝4，AB＝6，则＝（）

A． B． C． D．

二、填空题

11．（3分）已知实数a，b，c满足a+b+c＝2，abc＝4．

12．（3分）如果方程x3﹣7x2+（10+k）x﹣2k＝0的三个根可以作为一个等腰三角形的边长，则实数k＝．

13．（3分）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥6，且关于y的分式方程，则满足条件的整数a是非负整数的概率为．

14．（3分）如图，在函数的图象上有点P1，P2，P3，…Pn，Pn+1，点P1的横坐标为1，后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是1，过点P1，P2，P3，…，Pn，Pn+1分别作x轴，y轴的垂线，构成若干矩形，将阴影部分面积从左至右依次记为S1，S2，S3，…，Sn，则Sn＝（用n的代数式表示）．

15．（3分）已知实数x，y，z满足，则x3+y3+z3的值为．

16．（3分）依次将1，2，3，…的平方数排成一串149162536496481100121144，第2024位是．

三、解答题

17．已知a是正整数，如果关于x的方程x3+（a+17）x2+（38﹣a）x﹣56＝0的根都是整数，求a的值及方程的整数根．

18．如图，在半径为5的⊙中，AB为⊙O的直径，垂足是H，BD交AC于E，且EF＝EB，连接OF，BF．

（1）求证：∠OFE＝∠ODE；

（2）若EH＝1，求AF的长．

19．若n是整数，如果存在整数x，y，z满足n＝x3+y3+z3﹣3xyz，则称n具有性质P，在1，5，2014四个数中，哪些数具有性质P

20．已知锐角△ABC中，∠A＝60°，S△ABC＝12，D，E，F分别是边BC，CA，求C△DEF的最小值的取值范围．

2024-2025学年湖南省长沙市雅礼中学九年级（上）人才选拔数学试卷

参考答案与试题解析

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

B

B

C

B

A

B

D

B

D

一、选择题

1．（3分）若实数a、b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则的值是（）

A．﹣20 B．2 C．2或﹣20 D．

【解答】解：①当a＝b时，原式＝2；

②当a≠b时，

根据实数a、b满足a2﹣3a+5＝0，b2﹣8b+5＝4，即可看成a2﹣8x+5＝0的解，

∴a+b＝8，ab＝6．

则＝

＝，

把a+b＝8，ab＝5代入得：