2025年北师版九年级数学寒假复习 专题2.11 二次函数全章专项复习【3大考点12种题型】.docxVIP

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专题2.11二次函数全章专项复习【3大考点12种题型】

【北师大版】

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【考点1二次函数的图象和性质】 1

【题型1根据二次函数的定义求字母的值】 3

【题型2在规定范围内与二次函数的最值有关的问题】 3

【题型3二次函数的图象与各项系数之间的关系】 4

【题型4二次函数与其他函数相结合的双图象问题】 5

【题型5二次函数与几何图形问题的综合探究】 7

【考点2二次函数与一元二次方程】 9

【题型6二次函数图象和坐标轴的交点问题】 10

【题型7二次函数与一元二次方程的根的关系的应用】 10

【题型8二次函数与一次函数的综合应用】 11

【题型9抛物线与直线的交点问题】 12

【考点3实际问题与二次函数】 13

【题型10利用二次函数解决最大利润问题】 14

【题型11利用二次函数解决抛物线形的实际问题】 15

【题型12利用二次函数解决最大面积问题】 18

【考点1二次函数的图象和性质】

二次函数的定义：

一般的，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项。

二次函数解析式的表示方法

(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)；

(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，

它直接显示二次函数的顶点坐标是(h，k)；

(3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，

其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标．

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

2、二次函数的性质

二次函数的图象是一条抛物线。当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下。|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大。

y=ax2

y=ax2+k

y=a(x-h)2

y=a(x-h)2+k

y=ax2+bx+c

对称轴

y轴

y轴

x=h

x=h

顶点

(0，0)

(0，k)

(h，0)

(h，k)

a0时，顶点是最低点，此时y有最小值；a0时，顶点是最高点，此时y有最大值。最小值(或最大值)为0(k或)。

增

减

性

a0

x0(h或)时，y随x的增大而减小；x0(h或)时，y随x的增大而增大。

即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大。

a0

x0(h或)时，y随x的增大而增大；x0(h或)时，y随x的增大而减小。

即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小。

3、二次函数的平移：

方法一：

在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．

概括成八个字“左加右减，上加下减”．

任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，具体平移方法如下：

方法二：

(1)沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成（或）

(2)沿x轴平移：向左（右）平移个单位，（或）

4、二次函数的图象与各项系数之间的关系

1、a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．

2、b的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异”

3、c决定了抛物线与轴交点的位置

字母的符号

图象的特征

a

a＞0

开口向上

a＜0

开口向下

b

b＝0

对称轴为y轴

ab＞0(a与b同号)

对称轴在y轴左侧

ab＜0(a与b异号)

对称轴在y轴右侧

c

c＝0

经过原点

c＞0

与y轴正半轴相交

c＜0

与y轴负半轴相交

【题型1根据二次函数的定义求字母的值】

【例1】（23-24九年级上·广西柳州·期中）当m=时，函数y=m2+mxm2

【变式1-1】（2024·广东广州·一模）二次函数y=k?1x2?k

【变式1-2】（23-24九年级上·四川凉山·期中）已知y=m+2xm+4x+3m+1是关于x的二次函数，则

A．±2 B．2 C．?2 D．0

【变式1-3】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）若二次函数y=kxk2?2k?1+1有

【题型2在规定范围内与二次函数的最值有关的问题】

【例2】（2024·浙江嘉兴·一模）已知二次函数y=ax2?2axa≠0的图象上有两点Am，y

A．有最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值

C．无最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值

【变式2