2025年北师版九年级数学寒假复习 专题3.13 圆全章专项复习【4大考点13种题型】 .docxVIP

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专题3.13圆全章专项复习【4大考点13种题型】

【北师大版】

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【考点1圆的有关性质】 1

【题型1垂径定理的应用】 2

【题型2弧、弦、圆心角的关系】 4

【题型3圆周角定理及其推论的应用】 5

【题型4巧用圆内接四边形的性质求解】 6

【考点2点和圆、直线和圆的位置关系】 8

【题型5切线的判定】 9

【题型6切线的性质】 10

【题型7切线长定理】 12

【题型8三角形的外接圆与内切圆】 13

【考点3正多边形和圆】 15

【题型9正多边形和圆的有关计算】 15

【题型10正多边形中的规律探究性问题】 16

【考点4弧长和扇形面积】 18

【题型11圆锥侧面展开图的有关计算】 18

【题型12不规则图形面积的计算】 20

【题型13利用弧长和扇形面积公式解决几何图形的旋转问题】 21

【考点1圆的有关性质】

知识点一圆的定义

圆的定义：第一种：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆。固定的端点O叫作圆心，线段OA叫作半径。第二种：圆心为O，半径为r的圆可以瞧成就是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合。

比较圆的两种定义可知：第一种定义就是圆的形成进行描述的，第二种就是运用集合的观点下的定义，但就是都说明确定了定点与定长，也就确定了圆。

知识点二圆的相关概念

弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。

弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

等圆：等够重合的两个圆叫做等圆。

等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

弦就是线段，弧就是曲线，判断等弧首要的条件就是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧才就是等弧，而不就是长度相等的弧。

知识点三圆的对称性

圆就是轴对称图形，任何一条直径所在直线都就是它的对称轴。

知识点四垂径定理

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

垂径定理的推论：平分弦（不就是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

注意：因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须不就是直径，否则结论不成立。

知识点五弦、弧、圆心角的关系

弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量也相等。

注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件，如果丢掉这个条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等，比如两个同心圆中，两个圆心角相同，但此时弧、弦不一定相等。

知识点六圆周角定理

圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角就是直角，90°的圆周角所对弦就是直径。

圆周角定理揭示了同弧或等弧所对的圆周角与圆心角的大小关系。“同弧或等弧”就是不能改为“同弦或等弦”的，否则就不成立了，因为一条弦所对的圆周角有两类。

知识点七圆内接四边形及其性质

圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。

圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。

【题型1垂径定理的应用】

【例1】（2024·江西吉安·三模）如图，一座石桥的主桥拱是四弧形，某时刻添得水面AB的宽度为8米，拱高CD（AB的中点C到水面的距离）为2米．

(1)求主桥拱所在圆的半径．

(2)在主桥拱所在圆的圆心处有一水位检测仪，若过几天某时刻的水面为EF，检测仪观测点E的仰角为25.6°，求此时水面的宽度．（参考数据：sin25.6°≈0.43，cos25.6°≈0.90，

【变式1-1】（23-24九年级·安徽淮南·期末）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．如图，用锯去锯这木材，锯口深ED=1寸，锯道长AB=1尺（1尺=10寸）．这根圆柱形木材的直径是多少寸？

【变式1-2】（2024·河南周口·二模）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一类似问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深两寸，锯道长