微分的几何意义.pptVIP

山东农业大学高等数学主讲人：苏本堂山东农业大学高等数学主讲人：苏本堂二、微分的几何意义一、微分的概念

§2.5函数的微分

三、微分的运算法则四、微分在近似计算中的应用一、微分的概念引例:一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?设薄片边长为x,面积为A,则面积的增量为关于△x的线性主部高阶无穷小时为故称为函数在的微分当x在取得增量时,变到边长由其的微分,定义:若函数在点的增量可表示为(A为不依赖于△x的常数)则称函数而称为记作即定理:函数在点可微的充要条件是即在点可微,定理:函数证:“必要性”已知在点可微,则故在点的可导,且在点可微的充要条件是在点处可导,且即在点可微的充要条件是定理:函数在点处可导,且即“充分性”已知即在点的可导,则注:时,所以时很小时,有近似公式与是等价无穷小,当故当例1求函数y?x2在x?1和x?3处的微分?dy?(x2)?|x?1Dx?2Dx?函数y?x2在x?3处的微分为dy?(x2)?|x?3Dx?6Dx?例2求函数y?x3当x?2?Dx?0?02时的微分?y?f(x)在点x0可微?Dy?ADx?o(Dx)?dy=f?(x0)Dx?解函数y?x2在x?1处的微分为解先求函数在任意点x的微分?dy?(x3)?Dx?3x2Dx?再求函数当x?2?Dx?0?02时的微分?dy|x=2,Dx=0.02=3?22?0.02=0.24?=3x2|x=2,Dx=0.02当|Dx|很小时?|Dy?dy|比|Dx|小得多?因此?在点M的邻近?我们可以用切线段来近似代替曲线段?Dy是曲线上点的纵坐标的增量;dy是过点(x0?f(x0))的切线上点的纵坐标的增量.当x从x0变到x0+Dx时?二、微分的几何意义则有从而导数也叫作微商自变量的微分,记作记d(xm)?mxm?1dxd(sinx)?cosxdxd(cosx)??sinxdxd(tanx)?sec2xdxd(cotx)??csc2xdxd(secx)?secxtanxdxd(cscx)??cscxcotxdxd(ax)?axlnadxd(ex)?exdx(xm)??mxm?1(sinx)??cosx(cosx)???sinx(tanx)??sec2x(cotx)???csc2x(secx)??secxtanx(cscx)???cscxcotx(ax)??axlna(ex)?ex微分公式:导数公式:1.基本初等函数的微分公式三、微分的基本公式和运算法则微分公式:导数公式:2、微分的四则运算法则设u(x),v(x)均可微,则(C为常数)分别可微,的微分为微分形式不变复合函数的微分则复合函数在求复合函数的导数时?可以不写出中间变量?例3y?sin(2x?1)?求dy??2cos(2x?1)dx??cos(2x?1)?2dx?cos(2x?1)d(2x?1)dy?d(sinu)?cosudu若y?f(u)?u?j(x)?则dy?f?(u)du?解把2x?1看成中间变量u?则例4解例5.设01求添加标题02解:利用一阶微分形式不变性,有添加标题03例6.在下列括号中填入适当的函数使等式成立:添加标题