2023解三角形满分通关10讲学生版.docx

解三角形满分通关10讲

专题一三角形中基本量的计算问题 2

考点一计算三角形中的角或角的三角函数值 3

考点二计算三角形中的边或周长 6

专题二三角形的三线两圆及面积问题 10

考点一三角形的三线两圆问题 11

考点二计算三角形的面积 14

专题三三角形形状的判定问题 16

专题四三角形中的最值(范围)问题 20

考点一三角形中与角或角的函数有关的最值(范围) 20

考点二三角形中与边或周长有关的最值(范围) 22

考点三三角形中与面积有关的最值(范围) 24

专题五三角形中边角的计算问题 26

专题六三角形中面积的计算问题 32

专题七三角形中的结构不良题型 34

专题八多三角形问题 35

专题九三角形中的最值(范围)问题 38

考点一三角形中与角或角的函数有关的最值(范围) 39

考点二三角形中与边或周长有关的最值(范围) 40

考点三三角形中与面积有关的最值(范围) 41

专题十解三角形综合问题 43

考点一正、余弦定理与三角函数结合的问题 43

考点二正、余弦定理与与向量结合的问题 46

专题一 三角形中基本量的计算问题

1．正、余弦定理

在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则

定理

正弦定理

余弦定理

a

b

c

a2＝b2＋c2－2bccosA；

内容

＝

＝

＝2R

b2＝c2＋a2－2cacosB；

sinA

sinB

sinC

c2＝a2＋b2－2abcosC．

a＝bsinsinBA，b＝asinsinAB，c＝asinsinAC；

sinA＝asinB，sinB＝bsinA，sinC＝csinA；cosA＝b2＋c2－a2；

baa2bc

(3)a

＝

，＝

，＝

2RsinC

；

c2＋a2－b2

变形

2RsinAb

2RsinBc

cosB＝

；

a

b

c

2ac

(4)sinA＝

，sinB＝

，sinC＝

；

a2＋b2－c2

2R

2R

2R

cosC＝

．

(5)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；

2ab

a＋b＋c＝2R．sinA＋sinB＋sinC

2．三角形面积公式

S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB＝abc4R＝12(a＋b＋c)·r(r，R为别是△ABC内切圆半径和外接圆半径)，

并可由此计算R、r．

3．解三角形有关的二级结论

(1)三角形内角和定理

A＋BπC

2 2 2

(2)三角形中的三角函数关系

①sin(A＋B)＝sinC；②cos(A＋B)＝－cosC；③tan(A＋B)＝－tanC(C≠

π

)；④sin

A＋B

＝cos

C

；⑤cos

A＋B

2

2

2

2

＝sin

C

．⑥在非Rt△ABC中，tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC(A，B，C≠

π

)．

2

2

(3)三角形中的不等关系

①在三角形中大边对大角，大角对大边．

π

22

2

．

③若△ABC为锐角三角形，则A＋B

，sinAcosB，cosAsinB，a＋bc．若△ABC为钝角三角形(假

2

如C为钝角)，则A＋B

π

，sinAcosB，cosAsinB．

?

abc

2

④c2＝a2＋b2

C为直角；c2a2＋b2

C为钝角；c2a2＋b2

C为锐角．

⑤＋＞，b＋c＞a，c＋a＞b．

⑥若x∈

0，π

，则sinx＜x＜tanx．若x∈

0，π

，则1＜sinx＋cosx≤2．

2

2

(4)三角形中的射影定理

在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB．

在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．若出现边的一次式一

般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用

正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：

①若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”，然后进行代数式变形；

②若式子中含有a，b，c的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”，然后进行三角恒等变换；

③若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”，然后进行代数式变形；

④含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；

⑤同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理．

考点一 计算三角形中的角