数值分析-牛顿法.pptVIP

数值分析

非线性方程的牛顿法

(NewtonMethodofNonlinearEquations)内容提纲（Outline)牛顿法及其几何意义收敛性及其收敛速度计算实例及其程序演示一、牛顿法及其几何意义取x0作为初始近似值，将f(x)在x0做Taylor展开:重复上述过程?作为第一次近似值Newton迭代公式基本思路：将非线性方程f(x)=0线性化牛顿法的几何意义xyx*x0x1x2牛顿法也称为切线法（局部收敛性定理）设f(x)?C2[a,b]，若x*为f(x)在[a,b]上的根,且f?(x*)?0，则存在x*的邻域使得任取初始值，Newton法产生的序列{xk}收敛到x*，且满足至少平方收敛二、牛顿法的收敛性与收敛速度证明：Newton法实际上是一种特殊的迭代法由Taylor展开：在x*的附近收敛令k??，由f?(x*)?0，即可得结论。思考题1若，Newton法是否仍收敛？设x*是f的m重根，则令：且Answer1:有局部收敛性Answer2:线性收敛思考题2当x*是f(x)=0的m重根,是否平方收敛？注：Newton法的收敛性依赖于x0的选取。x01?3?2x04x05?6x*有根根唯一全局收敛性定理(定理4.7)：设f(x)?C2[a,b]，若f(a)f(b)0；在整个[a,b]上f?(x)?0；f??(x)在[a,b]上不变号选取初始值x0?[a,b]使得f??(x0)f(x0)0；则由Newton法产生的序列{xk}单调地收敛到f(x)=0在[a,b]的唯一根x*,且收敛速度至少是二阶的保证产生的序列{xk}单调有界保证Newton迭代函数将[a,b]映射于自身将f(x*)在xk处作Taylor展开对迭代公式两边取极限，得证明：以为例证明说明数列{xk}有下界故{xk}单调递减,从而{xk}收敛.令？VC程序设计语言22%Matlab数学软件40%辅助工具:三、计算实例及其程序演示计算步骤(1)选定初值x0,计算f(x0),f?(x0)(2)按公式迭代得新的近似值xk+1(3)对于给定的允许精度?，如果则终止迭代，取;否则k=k+1，再转步骤(2)计算允许精度最大迭代次数迭代信息例题1用Newton法求方程的根,要求迭代格式一：迭代格式二：取初值x0＝0.0,计算如下：对迭代格式一:theiterativenumberis27,thenumericalsolutionis0.442852706对迭代格式二:theiterativenumberis3,thenumericalsolutionis0.442854401例题2求函数的正实根精度要求：从图形中我们可以看出：在x=7和x=8之间有一单根；在x=1和x=2之间有一重根。用Matlab画图，查看根的分布情形初值x0＝8.0时,计算的是单根,Theiterativenumberis28,Thenumericalsolutionis7.60000148101初值x0＝1.0,计算的是重根,Theiterativenumberis1356,Thenumericalsolutionis1.19863198101当f(x)充分光滑且x*是f(x)=0的单根时，牛顿法在x*的附近至少是平方收敛的。1当f(x)充分光滑且x*是f(x)=0的重根时，牛顿法在x*的附近是线性收敛的。2Newton法在区间[a,b]上的收敛性依赖于初值x0的选取。3小结改进与推广/*improvementandgeneralization*/?重根/*multipleroot*/加速收敛法：Q1:若，Newton’sMethod是否仍收敛？设