☆问题解决策略：特殊化教案 -2024-2025学年北师大版数学七年级下册.docx

☆问题解决策略：特殊化

教学目标

课题

问题解决策略：特殊化

授课人

素养目标

1.经历探究用特殊情形下获得的结论或方法解决一般性问题的过程，掌握解决复杂问题的特殊化策略和方法。

2.体会从一般到特殊，从特殊到一般的数学思想方法，提升抽象能力和推理能力。

教学重点

把一般问题转化为特殊问题的思路和方法。

教学难点

如何找到一般问题中的特殊情形。

教学活动

教学步骤

师生活动

活动一：创设情境，导入新课

【情境引入】

数学家费马在研究数列F=22n+1著名的前五项：F0=3，F1=5，F2=17，F3=257，F4=65537时，发现它们都是素数，于是费马就猜想：形如Fn=22n+1的数都是素数。

可能欧拉有点看不惯这种“随意”的猜想，欧拉计算了一下n=5时的情况，发现：4294967297=641*6700417。

于是，费马的猜想被这个“特殊的5”否认掉！

20世纪被誉为“数学届中的亚历山大”数学家希尔伯特说：“在讨论数学问题时，我相信特殊化比一般化起着更为重要的作用。”

伟大的数学家华罗庚教授也说：“善于‘退’，一直‘退’到原始而不失重要性的地方，是学习数学的一个诀窍。而特殊化思考就是一种‘退一步’的策略！”

今天这节课就让我们一起来探讨一下如何用特殊化的策略解决问题。

【教学建议】

教师可以让学生用科学计算器验证一下n=5时，是不是Fn就不是素数。

设计意图

以数学家的趣味数学为引入点，激发学生的兴趣，为引出本课内容做铺垫。

活动二：实践探究，获取新知

探究点采用特殊化的策略解决问题

师：首先理解特殊化这个概念。

举个例子：

师：什么是特殊化策略呢？

面对一般性的问题时，可以先考虑特殊情形，借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性的问题，这就是特殊化策略。

师：我们可以感受到在特殊情形下，问题变得具体、简单、易于解决。

因此，从特殊情形出发，有助于我们发现解决问题的思路。

【教学建议】

教师还可以多举几个例子说明特殊化的含义，也可以让学生模仿举例。

设计意图

通过实例让学生经历探究用特殊情形找到解决一般问题的思路的过程，提

教学步骤

师生活动

高学生的推理能力和抽象能力。

下面我们来看看这个问题。

问题如图，有两个边长为1的正方形，其中正方形EFGH的顶点E与正方形ABCD的中心重合。在正方形EFGH绕点E旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积是多少?

【理解问题】

(1)在旋转过程中，两个正方形的重叠部分会呈现出哪些情形?

(2)对于这些不同情形，如何求两个正方形重叠部分的面积?你遇到的困难是什么?

重叠部分随着绕顶点E的旋转是在变化的，所求重叠部分的面积有很多情形，不规则的情形下无法利用已知条件求出面积……

【拟订计划】

哪些特殊情形下，两个正方形重叠部分的面积容易求出？

如下图这样，重叠部分是规则图形的时候容易求出。

其他情形能转化为容易求解的特殊情形吗？

能。

【实施计划】

写出你的解决方案，并说明道理。

小明是这样思考的：

（1）先考虑特殊情形。如图①、图②，这两种情形下，重叠部分的面积容易求出，都是。

（2）将一般情形转化为特殊情形。

如图③，连接EB,EC，两个正方形重叠部分的面积记作S重叠，则S重叠=S△BEC+S△CEN-S△BEM。可以发现，△BEM≌△CEN，这时，图③的情形就转化为图①的情形，S重叠=S△BEC=。因此，一般情形下，重叠部分的面积也是。

【教学建议】

两个正方形重叠的部分教师可以用多媒体展示，让学生有个形象的认识。

教学步骤

师生活动

【回顾反思】

(1)回顾本题的解决过程，你有哪些感悟?

可由学生自由作答，教师再总结。

师：在这个问题中，正方形EFGH的位置是变化的，所求重叠部分的面积有很多情形，因此，小明尝试从特殊情形入手，并借助特殊情形的经验解决了一般情形下的问题。

(2)具有什么特点的问题，可以从特殊情形入手?如何寻找特殊情形?与同伴进行交流。

可由学生自由作答，教师再总结。

师：因为某些因素(如形状、位置或数值等)不确定，使得问题有多种情形时，可以限制这个引起变化的因素，考虑最为特殊的情形，采用从特殊情形入手的策略解决问题。

活动三：典例精讲，升华提高

例1一个三位数除以它的各位数字之和，商最大是多少？

（1）特殊值法分析题意

（2）将一般情形转化为特殊情形

解：设这个三位数为100a+10b+c，

可得(100a+10b+c)÷(a+b+c)

=[(10a+10b+10c)+(90a-9c)]÷(a+b+c)

=10+9(10a-c)÷(a+b+c)

要使商最大，那么被除数应最大，除数应最小，可得c=0，b=0，此时商的最大值为：10+9×10a÷a=10+90=100。

例2如图，P是等边三角形ABC内的任意一点，过点P向三边作垂线，