高中数学学案 　数列的函数特性.docx

1.2数列的函数特性

[学习目标]1.了解数列是自变量为正整数的一种特殊函数.2.了解数列的几种表示方法.3.能从函数的观点研究数列．

导语

2021年1月14日，海关总署发布必威体育精装版数据显示：2020年我国货物贸易进出口总额为32.16亿元，同比增长1.9%，其中出口增长4%，中国外贸持续增长．当天，阿里巴巴国际站发布2020年全年年报，平台实收交易额按美元计价同比增长101%，数字化新外贸成为中国出口新趋势．阿里巴巴2020年1～12月平台实收交易额数据构成一个数列，它能用图象表示吗？

一、数列与函数的关系

问题1已知函数f(x)＝x2－1，当x＝1,2,3时对应的函数值分别是什么？它们能构成一个数列吗？请作出图象．

提示对应的函数值分别为0,3,8，能构成一个数列．图象如图．

知识梳理

数列与函数的关系

可以把一个数列视作定义在正整数集(或其子集)上的函数，因此可以用图象(平面直角坐标系内的一串点)来表示数列，图象中每个点的坐标为(n，an)，n＝1,2,3，…，这个图象也称为数列的图象．

注意点：

(1)数列可以看作是一个定义域为N＋(或其子集)的函数，是当自变量由小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值，数列的通项公式an＝f(n)是数列的第n项an与自变量n之间的函数解析式，数列的图象是横坐标为正整数的一系列离散的点．

(2)图象法的优点：能够直观地表示出随着项数的变化，相应项的变化趋势．

(3)数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法．

例1在数列{an}中，an＝n2－8n，n∈N＋，画出{an}的图象．

解列表：

n

1

2

3

4

5

6

7

8

9

…

an

－7

－12

－15

－16

－15

－12

－7

0

9

…

描点：在平面直角坐标系中描出下列各点即得数列{an}的图象：(1，－7)，(2，－12)，(3，－15)，(4，－16)，(5，－15)，(6，－12)，(7，－7)，(8,0)，(9,9)，…，图象如图所示．

反思感悟数列是一个特殊的函数，因此也可以用图象来表示，以位置序号n为横坐标，相应的项为纵坐标，即坐标为(n，an)描点画图，就可以得到数列的图象，因为它的定义域是正整数集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})，所以其图象是一群孤立的点，这些点的个数可以是有限的，也可以是无限的．

跟踪训练1根据数列的通项公式，写出数列的前5项，并用图象表示出来．

(1)an＝(－1)n＋2；

(2)an＝eq\f(n＋1,n).

解(1)a1＝1，a2＝3，a3＝1，a4＝3，a5＝1.

图象如图1.

(2)a1＝2，a2＝eq\f(3,2)，a3＝eq\f(4,3)，a4＝eq\f(5,4)，a5＝eq\f(6,5).

图象如图2.

二、数列的增减性

问题2观察下面两个数列，你能说出每个数列中项的变化规律吗？

(1)1,2,3,4,5,6；

(2)－1，－2，－3，－4，－5，－6.

提示(1)逐渐变大．(2)逐渐变小．

知识梳理

数列的增减性

名称

定义

判断方法

递增数列

从第2项起，每一项都大于它的前一项

an＋1an

递减数列

从第2项起，每一项都小于它的前一项

an＋1an

常数列

各项都相等

an＋1＝an

注意点：

(1)可以用函数的观点、方法研究数列的增减性．

(2)一个数列{an}，如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，这样的数列叫作摆动数列．

角度1数列增减性的判断

例2已知数列{an}的通项公式是an＝eq\f(1,n2＋5n＋4)，则该数列是()

A．递增数列 B．递减数列

C．摆动数列 D．常数列

答案B

解析对任意n∈N＋，

∵an＋1－an

＝eq\f(1,?n＋1?2＋5?n＋1?＋4)－eq\f(1,n2＋5n＋4)

＝eq\f(－2?n＋3?,[?n＋1?2＋5?n＋1?＋4]?n2＋5n＋4?)0，

∴数列{an}是递减数列．

延伸探究本例若把数列{an}的通项公式改为an＝eq\f(k,3n)(k0，且k为常数)，试判断数列{an}的增减性．

解eq\f(an＋1,an)＝eq\f(k,3n＋1)·eq\f(3n,k)＝eq\f(1,3)1.

∵k0，n∈N＋，∴an0，

∴an＋1an，

∴{an}是递减数列．

角度2利用数列的增减性求参数

例3已知数列{an}，an＝－2n2＋λn，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是()

A．(－∞，3] B．(－∞，4]

C．(－∞，5) D．(－∞，6)

答案D

解析依题意，an＋1－an＝－2(2n＋1)＋λ0，即λ2(2n＋1)对任意的n∈N＋恒成立，当n∈N＋时，2(2n＋1)的最小值