高中数学学案 　直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系 (2).DOCX

第二课时直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系

课标要求1.理解直线的倾斜角与斜率的关系.2.了解直线的方向向量.3.会应用倾斜角与斜率的关系解决简单的综合问题.

【引入】直线的倾斜角和斜率分别从几何角度和代数角度刻画了直线的倾斜程度，二者有怎样的关系呢？

一、直线的斜率与倾斜角的关系

探究1对于倾斜角不为eq\f(π,2)的两条直线，其倾斜角相等，斜率就相等吗？反之，斜率相等，倾斜角相等吗？

提示倾斜角不为eq\f(π,2)的两直线，倾斜角相等、斜率也相等；反之也成立.

探究2如图，A(x1，y1)，B(x2，y2)是倾斜角为α的直线l上的两点，则该直线的斜率k与倾斜角有什么关系？

提示过A作直线平行于x轴，过B作直线垂直于x轴，交于一点C，则△ABC是直角三角形，故有tanα＝eq\f(BC,AC)，而BC＝y2－y1，AC＝x2－x1，所以tanα＝eq\f(y2－y1,x2－x1)，即k＝tanα.

【知识梳理】

1.直线的斜率k与倾斜角αeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)))满足k＝tan__αeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中α≠\f(π,2))).其图象为

2.斜率k与倾斜角α有如下关系：

当α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，斜率k≥0，且k随倾斜角α的增大而增大；

当α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))时，斜率k0，且k随倾斜角α的增大而增大.

当α＝eq\f(π,2)时，直线l与x轴垂直，此时直线l的斜率不存在.

温馨提示直线l的倾斜角α的范围是[0，π)，斜率k的范围是R，但α＝eq\f(π,2)时，斜率k不存在，故α与k不是一一对应的关系.

例1已知直线l的倾斜角为α，斜率为k.

(1)若0≤α≤eq\f(π,3)，求斜率k的取值范围；

(2)若eq\f(π,4)≤α≤eq\f(3π,4)，求斜率k的取值范围；

(3)若－eq\r(3)≤k≤－eq\f(\r(3),3)，求倾斜角α的取值范围；

(4)若－1≤k≤eq\r(3)，求倾斜角α的取值范围.

解(1)由0≤α≤eq\f(π,3)及正切函数的性质，

可得tan0≤tanα≤taneq\f(π,3)，即0≤tanα≤eq\r(3)，

所以斜率k的取值范围是{k|0≤k≤eq\r(3)}.

(2)由正切函数的性质，可得当eq\f(π,4)≤α＜eq\f(π,2)时，k＝tanα≥1；当eq\f(π,2)＜α≤eq\f(3π,4)时，k＝tanα≤－1；当α＝eq\f(π,2)时，斜率k不存在.

综上，斜率k的取值范围是{k|k≤－1，或k≥1}.特别地，当α＝eq\f(π,2)时，斜率k不存在.

(3)由－eq\r(3)≤k≤－eq\f(\r(3),3)，可得－eq\r(3)≤tanα≤－eq\f(\r(3),3).

又0≤α＜π，所以由正切函数的性质，得倾斜角α的取值范围是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)≤α≤\f(5π,6))))).

(4)由－1≤k≤eq\r(3)，可得－1≤tanα≤eq\r(3).

又0≤α＜π，所以由正切函数的性质，得倾斜角α的取值范围是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(0≤α≤\f(π,3)，或\f(3π,4)≤α＜π)))).

思维升华(1)斜率k与倾斜角α，已知一个量的范围求另一个的范围，利用正切函数的图象和性质即可.

(2)已知直线上两点的坐标时，利用k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)))，再结合k＝tanα的图象求解.

训练1(1)(教材例题改编)已知直线l1的倾斜角α＝30°，且l2⊥l1，则直线l1的斜率为________；直线l2的斜率为________.

(2)直线l经过A(2，1)，B(3，t2)(t∈R)两点，则直线l的倾斜角的取值范围是()

A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，π))

C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π