高中数学学案 　函数的平均变化率.docx

1.1.1函数的平均变化率

[学习目标]1.理解平均变化率的含义.2.会求函数在给定区间上的平均变化率，并能用平均变化率解释一些实际问题．

导语

你登过泰山吗？登山过程中，你会体验到“六龙过万壑”的雄奇，感受到“会当凌绝顶，一览众山小”的豪迈．当爬到“十八盘”时，你感觉怎样？是平缓的山好攀登，还是陡峭的山好攀登？陡峭程度反映了山坡高度变化的快与慢．从数学的角度，如何量化曲线的“陡峭”程度呢？

一、平均速度

问题1在一次跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，根据上述探究，你能求该运动员在0≤t≤0.5,1≤t≤2,0≤t≤eq\f(65,49)内的平均速度吗？有什么发现？

提示当0≤t≤0.5时，eq\x\to(v)＝eq\f(h?0.5?－h?0?,0.5－0)＝4.05(m/s)；

当1≤t≤2时，eq\x\to(v)＝eq\f(h?2?－h?1?,2－1)＝－8.2(m/s)；

当0≤t≤eq\f(65,49)时，eq\x\to(v)＝eq\f(h\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(65,49)))－h?0?,\f(65,49)－0)＝0(m/s)．

虽然运动员在0≤t≤eq\f(65,49)这段时间里的平均速度是0m/s，但实际情况是，该运动员仍在运动，可以说明平均速度不能准确描述运动员的运动状态．

例1某物体运动的位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系式为s(t)＝sint，t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).

(1)分别求该物体在t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))和t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))上的平均速度；

(2)比较(1)中两个平均速度的大小，说明其几何意义．

解(1)物体在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))上的平均速度为

eq\x\to(v)1＝eq\f(s?t2?－s?t1?,t2－t1)＝eq\f(s\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))－s?0?,\f(π,4)－0)＝eq\f(\f(\r(2),2)－0,\f(π,4))＝eq\f(2\r(2),π)(m/s)．

物体在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))上的平均速度为

eq\x\to(v)2＝eq\f(s\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))－s\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4))),\f(π,2)－\f(π,4))＝eq\f(1－\f(\r(2),2),\f(π,4))＝eq\f(4－2\r(2),π)(m/s)．

(2)由(1)可知eq\x\to(v)1－eq\x\to(v)2＝eq\f(4\r(2)－4,π)0，所以eq\x\to(v)2eq\x\to(v)1.作出函数s(t)＝sint在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的图象，如图所示，可以发现，s(t)＝sint在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上随着t的增大，函数值s(t)变化得越来越慢．

反思感悟求物体运动的平均速度的主要步骤

(1)先计算位移的改变量s(t2)－s(t1)．

(2)再计算时间的改变量t2－t1.

(3)得平均速度eq\x\to(v)＝eq\f(s?t2?－s?t1?,t2－t1).

跟踪训练1一质点按运动方程s(t)＝eq\f(1,t)作直线运动，则其从t1＝1到t2＝2的平均速度为()

A．－1B．－eq\f(1,2)C．－2D．2

答案B

解析eq\x\to(v)＝eq\f(s?2?－s?1?,2－1)＝eq\f(1,2)－1＝－eq\f(1,2).

二、函数的平均变化率

问题2如图，从数学的角度刻画气温“陡升”，用怎样的数学模型刻画变量变化的快慢程度？

提示陡峭程度反应了气温变化的快与慢；AB两点相差31天，气温增加了15.1℃，则有eq\f(18.6－3.5,32－1)≈0.5；而BC两点相差2天，气温增加了14.8℃，则有eq\f(33.4－18.6,34－32)＝7.4，我们用此值刻画了变量变化的快慢程度．

知识梳理

1．平均变化率的