高中数学学案 　简单复合函数的求导.docx

1.2.3简单复合函数的求导

[学习目标]1.进一步运用导数公式和函数的求导法则求函数的导数.2.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则．

导语

前面我们学习了基本初等函数的导数以及函数的和差积商求导法则，但对于形如y＝ln(2x－1)的函数，我们无法用这些知识进行求导，那么这个函数的结构有怎样的特点呢？如何对此类函数求导呢？本节课我们就来学习一下．

一、复合函数的概念

问题1函数y＝ln(2x－1)是如何构成的？

提示y＝ln(2x－1)，其中的2x－1“占据”了对数函数y＝lnx中x的位置，f(x)＝lnx，而f(2x－1)＝ln(2x－1)，这里有代入、代换的思想，则函数y＝ln(2x－1)是由内层函数为幂函数的线性组合和外层函数为对数函数复合而成，是复合函数．

知识梳理

复合函数的概念

一般地，设y＝f(u)是关于u的函数，u＝g(x)是关于x的函数，则y＝f(g(x))是关于x的函数，称为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数．

注意点：

内、外层函数通常为基本初等函数．

例1(多选)下列函数是复合函数的是()

A．y＝xlnx B．y＝(3x＋6)2

C．y＝e2x＋1 D．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))

答案BCD

反思感悟若f(x)与g(x)均为基本初等函数，则函数y＝f(g(x))或函数y＝g(f(x))均为复合函数．

跟踪训练1(多选)下列函数是复合函数的是()

A．y＝log2(2x＋1) B．y＝2x2－eq\f(1,x)

C．y＝2lnx D．y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,6)))

答案ACD

二、复合函数的导数

问题2如何求函数y＝sin2x的导数？

提示y＝sin2x＝2sinxcosx，由两个函数相乘的求导法则可知y′x＝2cos2x－2sin2x＝2cos2x；从整体上来看，外层函数是基本初等函数y＝sinu，它的导数y′u＝cosu，内层函数是幂函数的线性组合u＝2x，它的导数是u′x＝2，发现y′x＝y′u·u′x.

知识梳理

复合函数的求导法则

一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．

注意点：

(1)中间变量的选择应是基本初等函数的结构；

(2)求导由外向内，并保持对外层函数求导时，内层不变的原则；

(3)求每层函数的导数时，注意分清是对哪个变量求导．

例2求下列函数的导数：

(1)y＝eq\f(1,?1－3x?4)；

(2)y＝cosx2；

(3)y＝log2(2x＋1)；

(4)y＝e3x＋2.

解(1)令u＝1－3x，则y＝eq\f(1,u4)＝u－4，

所以y′u＝－4u－5，u′x＝－3.

所以y′x＝y′u·u′x＝12u－5＝eq\f(12,?1－3x?5).

(2)令u＝x2，则y＝cosu，

所以y′x＝y′u·u′x＝－sinu·2x＝－2xsinx2.

(3)设y＝log2u，u＝2x＋1，

则y′x＝y′u·u′x＝eq\f(2,uln2)＝eq\f(2,?2x＋1?ln2).

(4)设y＝eu，u＝3x＋2，

则y′x＝(eu)′·(3x＋2)′＝3eu＝3e3x＋2.

反思感悟(1)求复合函数的导数的步骤

(2)求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁．

跟踪训练2求下列函数的导数：

(1)y＝eq\f(1,\r(1－2x))；

(2)y＝5log2(1－x)；

(3)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).

解(1)y＝，

设y＝，u＝1－2x，

则y′x＝(1－2x)′

＝·(－2)

＝.

(2)函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数，

所以y′x＝y′u·u′x＝5(log2u)′·(1－x)′

＝eq\f(－5,uln2)＝eq\f(5,?x－1?ln2).

(3)设y＝sinu，u＝2x＋eq\f(π,3)，

则y′x＝(sinu)′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))′

＝cosu·2＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).

三、复合函数的导数的应用

例3某港口