2025年高考数学复习专题 基本不等式.pdfVIP

英雄者，胸怀大志，腹有良策，有包藏宇宙之机，吞吐天地之志者也。——《三国演义》

高考数学复习专题基本不等式

全国名校高考数学复优质学案、专题汇编（附详解）

高考数学复专题：基本不等式

一、基本不等式

1.基本不等式：对于任意非负实数$a$和$b$，有$a+b

，等号成立当且仅当$a=b$。

2.算术平均数与几何平均数：设$a0$，$b0$，则

$a$和$b$的算术平均数不小于它们的几何平均数。

3.利用基本不等式求最值问题：

1）如果积$xy$是定值$P$，那么当且仅当$x=y$时，

$x+y$有最小值。

臣心一片磁针石，不指南方不肯休。——文天祥

2）如果和$x+y$是定值$P$，那么当且仅当$x=y$时，

$xy$有最大值$

rac{P}{4}$。

4.常用结论：

1）（$a$，$b$为任意实数）。

2）（$a$，

$b$为同号实数）。

3）（$a$，

$b$为任意实数）。

4）

rac{3}{2}$（$a$，$b$，$c$为正实数）。

5）$2(a+b)（$a$，$b$为任意实数）。

6）（$a$，

$b$为任意实数）。

君子忧道不忧贫。——孔丘

7）（$a0$，$b0$）。

二、基本不等式在实际中的应用

1.问题的背景是人们关心的社会热点问题，如物价、销售、

税收等。题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用

信息，建立数学模型，转化为数学问题求解。

2.经常建立的函数模型有正（反）比例函数、一次函数、

二次函数、分段函数以及$y=ax+b$（$a0$，$b0$）等。解

答函数应用题中的最值问题时一般利用二次函数的性质，基本

不等式，函数的单调性或导数求解。

考点突破一：利用基本不等式求最值

利用基本不等式求最值的常用技巧：

1）若直接满足基本不等式条件，则直接应用基本不等式。

丹青不知老将至，贫贱于我如浮云。——杜甫

2）若不直接满足基本不等式条件，则需要创造条件对式

子进行恒等变形，如构造“1”的代换等。常见的变形手段有拆、

并、配。

①拆——裂项拆项：对分子的次数不低于分母次数的分

式进行整式分离，分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中

分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条

件。

分组并项的目的是将问题分组后，通过应用基本不等式来

得出每组的最值，或者先在一组中应用基本不等式，再在组与

组之间应用基本不等式得出最值。

配式配系数的方法常常用于挖掘出“积”或“和”为定值的情

况。通过合理的配式和配系数，可以得到