微积分05不定积分.pptVIP

用第一换元积分法求不定积分的步骤是还应注意到，在换元—积分—还原的解题过程中,关键是换元,若在被积函数中作变量代换=u,还需要在被积表达式中再凑出即,也就是,这样才能以u为积分变量作积分,也就是所求积分化为在上述解题过程中u可不必写出，从这个意义上讲，第一换元积分法也称为“凑微分”法.例2求解例3求解例4求解例5求解例6求解用凑微分法计算不定积分时，熟记凑微分公式是十分必要的，以下是凑微分公式(在下列各式中，a，b均为常数，且):例7求解例8求解例9求解类似地，有例10求类似地，有解解例11求二、第二类换元积分法例12求解一般的说，若积分不易计算可以作适当的变量代换，把原积分化为的形式而可能使其容易积分.当然在求出原函数后，还要将代回.还原成x的函数，这就是第二换元积分法计算不定积分的基本思想.是单调可导的函数，且定理2设如果则有第二类换元法求不定积分的步骤为例13求解例12—例13的解题方法称为根代换法,一般地说，应用根代换积分时适用于如下情形：例14求解axt例15求解axt例16求解axt例14—例16中的解题方法称为三角代换法或三角换元法.一般的说，应用三角代换法求积分时适用于如下情形：补充的积分公式：第一节不定积分的概念与性质一、不定积分的概念二、基本积分公式三、不定积分的性质一、不定积分的概念例如:，是函数在上的原函数.，sinx是cosx在上的原函数.又如d(secx)=secxtanxdx,所以secx是secxtanx的原函数.定义设f(x)在区间上有定义,如果对任意的都有F(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx则称F(x)为f(x)在该区间上的一个原函数.1.原函数的概念一个函数具备什么条件,能保证它的原函此之间有何关系？答案:数一定存在？如果存在，是否唯一？若不唯一，彼问题:如果函数在区间上连续，则它的原函数一定存在．具体理由将在下一章给出．01020304若函数f(x)在区间I上存在原函数，则其任意两个原函数只差一个常数项.即G(x)=F(x)＋C0(C0为某常数).证设F(x)，G(x)是f(x)在区间I上的任意两个原函数.所以F(x)=G(x)=f(x)，所以有G(x)－F(x)=C0，05于是[G(x)－F(x)]=G(x)－F(x)=f(x)－f(x)=02.不定积分的概念定义2如果函数F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么f(x)的全体原函数F(x)＋C(C为任意常数)称为f(x)在区间I上的不定积分.记作其中记号称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量，C为积分常数.即例1求解解例2求例3求解3.不定积分的几何意义函数f(x)的原函数图形称为f(x)的积分曲线,不定积分表示的不是一个原函数,而是无穷多个(全部)原函数,通常说成一族函数,反映在几何上则是一族曲线,这族曲线称为f(x)的积分曲线族.图5.1在相同的横坐标处,所有积分曲线的斜率均为k,因此,在每一条积分曲线上,以x为横坐标的点处的切线彼此平行（图5.1）.f(x)为积分曲线在(x,f(x))处的切线斜率.例3,于这点的横坐标，求此曲线方程，设曲线通过点(2.3),且其上任一点的切线斜率等.解，，依题意可知设所求的曲线方程为xyxfy==)(=1+22xy因此所求曲线的方