精品解析：江苏省南京师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期12月考试数学试题（解析版）.docx

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南大附中高三数学12月考试

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1.已知复数（其中为虚数单位），则（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】借助复数运算法则结合模长定义计算即可得.

详解】，

故.

故选：C.

2.已知向量，若，则（）

A. B. C.2 D.

【答案】A

【解析】

【分析】由向量垂直坐标表示即可求解.

【详解】因为，所以．

因为，所以，解得．

故选：A

3.已知集合，则“”是“”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】求得集合，可得结论.

【详解】由，可得，所以，

因为在上单调递增，又，

由，可得，所以B=xx1，所以，

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

4.已知函数的图象向左平移后所得的函数为奇函数，则的最小值为（）

A.2 B.4 C.6 D.8

【答案】D

【解析】

【分析】平移后的解析式为奇函数得到，求出的最小值.

【详解】因为为奇函数，则，

所以，又，所以，解得，

因为，所以时，取得最小值，最小值为8.

故选：D

5.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点在轴上的投影为点，则的最小值是（）

A.1 B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】设抛物线上点设，根据向量数量积的坐标表示，配方后求最值即可.

【详解】由抛物线可知，焦点为，

设，则，

则，

所以，

当时，的最小值是，

故选：B

6.已知等比数列满足，，记为其前项和，则（）

A. B. C. D.7

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意列方程求出公比，然后可解.

【详解】设等比数列的公比为，，

依题意，，，

即，∴，，

解得或，

∴，，或，，，

∴.

故选：A

7.已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】先利用正弦定理求的外接圆半径，再求点到平面的距离，设三棱锥外接球半径为，根据勾股定理列方程求出，进一步计算球的表面积.

【详解】如图：

在中，，

由余弦定理：,

所以，所以外接圆半径为，即.

在直角三角形中，，，所以.

设棱锥外接球半径为，在直角三角形中，，

解得：.

所以球的表面积为：.

故选：A

8.若关于x的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用同构得到，当时，满足要求，当时，令，则在上恒成立，求导后得到函数单调性，从而得到，构造，求导得到单调性，进而得到，得到答案.

【详解】由可得，即，

当时，，不等式在上显然成立；

当时，令，则在上恒成立，

由，在上，所以在上单调递增，

又时，，，所以只需在上恒成立，

即恒成立．

令，则，即在上单调递增，

其中，

故，

所以此时有．

综上，．

故选：C．

【点睛】导函数求解参数取值范围，当函数中同时出现与，通常使用同构来进行求解，本题难点是不等式变形为，从而构造进行求解.

二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）

9.体育教育既能培养学生自觉锻炼身体的习惯，又能培养学生开拓进取、不畏艰难的坚强性格.某校学生参加体育测试，其中甲班女生的成绩与乙班女生的成绩均服从正态分布，且，，则().

A. B.

C. D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】正态分布的期望与方差和正态曲线的特点，结合正态分布的性质，逐项判定，即可求解.

【详解】选项A：由，得，故A正确；

选项B：由，得，故B不正确；

选项C：由于随机变量服从正态分布，该正态曲线的对称轴为直线：，

所以，故C正确；

选项D：解法一：由于随机变量，均服从正态分布，且对称轴均为直线：，

，所以在正态曲线中，的峰值较高，正态曲线较“瘦高”，

随机变量分布比较集中，所以，故D正确.

解法二：因为，，

所以，

故D正确.

故选：ACD.

10.已知中，角所对的边分别为的面积记为，若，则（）

A.

B.的外接圆周长为

C.的最大值为

D.若为线段的中点，且，则

【答案】AC

【解析】

【分析】由三角形面积公式和向量数量积定义可判断A正确，由正弦定理可得B错误；利用基本不等式可求得的最大值为，可得C正确；根据C中的结论可知当时面积，可得D错误.

【详解】依题意，，故A正确；

记外接圆的半径为，则，则的外接圆周长为，故B错误；

由余弦定