专题14 立体几何小题综合（解析版）.docx

专题14立体几何小题综合

解题秘籍

解题秘籍

立体几何基础公式

所有椎体体积公式：，所有柱体体积公式：，球体体积公式：

球体表面积公式：，圆柱：

圆锥：

长方体（正方体、正四棱柱）的体对角线的公式

已知长宽高求体对角线：

已知共点三面对角线求体对角线：

棱长为的正四面体的内切球的半径为,外接球的半径为.

欧拉定理(欧拉公式)

(简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F).

（1）=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为的多边形，则面数F与棱数E的关系：；

（2）若每个顶点引出的棱数为，则顶点数V与棱数E的关系：.

5．空间的线线平行或垂直

设，，则

；

.

夹角公式

设，b＝，则

.

6．异面直线所成角

=

（其中（）为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量）

7．直线与平面所成角，(为平面的法向量).

8..二面角的平面角

（，为平面，的法向量）.

异面直线间的距离

(是两异面直线，其公垂向量为，分别是上任一点，为间的距离).

点到平面的距离

（为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）.

模拟训练

模拟训练

一、单选题

1．（22·23下·无锡·三模）已知，是空间中两条不同的直线，，，是空间中三个不同的平面，则下列命题中错误的是（????）

A．若，，则

B．若，，则

C．若，，，则

D．若，，，则

【答案】A

【分析】设出、、的法向量，利用空间位置关系的向量证明判断B，C，D；根据线面关系判断A.

【详解】设平面、、的法向量分别为、、，直线，的方向向量为，，

对于A：若，，则或，故A错误；

对于B：若，则，又，则，所以，则，故B正确；

对于C：若，，则，，又，则，所以，则，故C正确；

对于D：因，，则，，因此向量、共面于平面，

令直线的方向向量为，显然，，

而平面，即、不共线，于是得，所以，故D正确.

故选：A

2．（22·23·宁德·二模）在长方体中，和与底面所成的角分别为和，则异面直线和所成角的余弦值为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据长方体的几何性质，结合在直线三角形中锐角三角函数，求得棱长，利用异面直线夹角的定义，根据余弦定理，可得答案.

【详解】由题意，可作图如下：

则，，设，在中，易知，

在中，，，，

在长方体中，易知，

则为异面直线与的夹角或其补角，

在中，，则，同理可得，，

由余弦定理，则.

故选：C.

3．（22·23下·长沙·三模）已知平行六面体的各棱长都为，，、、分别是棱、、的中点，则（????）

A．平面

B．平面平面

C．平面与平面间的距离为

D．直线与平面所成角的正弦值为

【答案】A

【分析】证明出平面平面，利用面面平行的性质可判断A选项；利用反证法结合面面垂直的性质定理可判断B选项；利用勾股定理可判断C选项；利用线面角的定义可判断D选项.

【详解】对于A选项，连接、、，

在平行六面体中，且，

所以，四边形为平行四边形，所以，，

因为、分别为、的中点，则，所以，，

因为平面，平面，所以，平面，

同理可证且，

因为且，、分别为、的中点，所以，且，

所以，四边形为平行四边形，故且，

所以，且，故四边形为平行四边形，故，

因为平面，平面，所以，平面.

因为，、平面，所以，平面平面，

因为平面，所以，平面，A对；

对于B选项，连接、、，

由题意可知，，，则为等边三角形，

所以，，同理可得，故三棱锥为正四面体，

设点在平面内的射影点为点，则为等边的中心，

易知点不在直线上，

若平面平面，过点在平面内作，垂足为点，

??

因为平面平面，平面平面，平面，

所以，平面，

但过点作平面的垂线，有且只有一条，矛盾，假设不成立，B错；

对于C选项，连接，则，且，

因为平面，平面，则，

故，

故平面与平面间的距离为，C错；

对于D选项，连接，因为平面，

所以，与平面所成的角为，且，

所以，直线与平面所成的角的正弦值为，D错.

故选：A.

4．（22·23下·湖北·三模）如图，把一个长方形的硬纸片沿长边所在直线逆时针旋转得到第二个平面，再沿宽边所在直线逆时针旋转得到第三个平面，则第一个平面和第三个平面所成的锐二面角大小的余弦值是（????）

??

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将两个单位正方体叠放在一起可构造模型，确定三个平面的位置后，由线面垂直可得两个平面的法向量，根据法向量夹角可确定所求角的余弦值.

【详解】如图，把两个单位正方体叠放在一起，

??

平面，平面，平面分别代表第一，二，三个平面，

四边形为正方形，，

平面，平面，，

，平面，平面；

同理可得：平面；

平面的法向量为，平面的法向量为，

，，

，，即与的夹角为，

所求锐二面角的大小的余弦值是.

故选：C．

5．（22·23下·黄冈·二模）已知三棱锥的四个顶点都在半径为2的外接球上，分别是和的中点