第05讲 指数与指数函数 (高频考点-精练）（解析版）.docx

第05讲指数与指数函数(精练）

A夯实基础

一、单选题

1．式子的计算结果为（???????）

A． B． C． D．

【答案】D

.

故选：D.

2．已知指数函数的图象经过点，则（???????）

A．8 B．16 C． D．

【答案】B

解：由题意可得，

解得，

故选：B.

3．函数的图象大致为（???????）

A． B．

C． D．

【答案】A

因为，所以单调递增，且恒过点，

故A为正确答案.

故选：A

4．若函数（且）的图像经过定点P，则点P的坐标是（???????）

A． B． C． D．

【答案】B

因为，所以当，即时，函数值为定值0，所以点P坐标为.

另解：因为可以由向右平移一个单位长度后，再向下平移1个单位长度得到，由过定点，所以过定点.

故选：B

5．已知函数，则函数的图像经过（???????）．

A．第一、二、四象限 B．第二、三、四象限

C．第二、四象限 D．第一、二象限

【答案】B

因为，

所以函数的图象经过一、二象限，

又的图象是由的图象沿y轴向下平移2个单位得到，

所以函数的图象经过二、三、四象限，如图，

故选：B

6．幂函数过点那么的图象大致为（???????）

A． B．

C． D．

【答案】B

因为幂函数过点所以，所以，

所以，其图象为B选项，

故选：B

7．若在上恒成立，则实数的取值范围是（???????）

A． B．

C． D．

【答案】C

令，

则原问题转化为在恒成立，

即在恒成立，

又当且仅当时取等号，

故实数的取值范围是，

故选：C．

8．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（???????）

A． B． C． D．

【答案】A

∵函数在上单调递减，∴，解得，实数的取值范围是.

故选：A.

二、多选题

9．函数y＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，则a的值不可以是（???????）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】ACD

由指数函数的定义知a2－4a＋4＝1且a≠1，解得a＝3.

故选：ACD.

10．函数在下列哪些区间内单调递减（???????）

A． B． C． D．

【答案】ACD

由题意，函数在上单调递减，

又由函数在上单调递增，在上单调递减，

由复合函数的单调性可知，函数在上单调递减，

结合选项，可得选项符合题意.

故选：ACD.

三、填空题

11．不论为何值时，函数且恒过定点__________．

【答案】

因为，恒成立，所以恒过定点．

故答案为：

12．已知函数是增函数，则实数a的取值范围是______．

【答案】

解：∵是定义域R上的增函数，

∴，

即，解得：，

∴实数a的取值范围为．

故答案为：．

四、解答题

13．已知函数f（x）＝ax+1﹣3（a＞0且a≠1），若函数y＝f（x）的图象过点（2，24）．

(1)求a的值及函数y＝f（x）的零点；

(2)求f（x）≥6的解集．

【答案】(1)3，零点是0(2)[1，+∞）

(1)因为函数f（x）＝ax+1﹣3（a＞0且a≠1），图象过点（2，24），

所以24＝a2+1﹣3，a3＝27，a＝3．

函数f（x）＝3x+1﹣3＝0，得x+1＝1，x＝0．

所以函数的零点是0．

(2)由f（x）≥6得3x+1﹣3≥6，即3x+1≥32，

所以x≥1．

则f（x）≥6的解集为[1，+∞）．

14．设a0，且a≠1，解关于x的不等式

【答案】当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为

当时，在上递减，

所以，

即，解得，

即不等式的解集为.

当时，在上递增，

所以，

即，解得或，

即不等式的解集为.

B能力提升

1．已知函数是奇函数.

(1)求的值；

(2)判断并证明函数的单调性.

【答案】(1)；

(2)在R上单调递增，证明见解析.

(1)由题设，，整理可得：恒成立，解得.

(2)由（1）知：，在R上单调递增，证明如下：

令，则，又，，，

所以，即在R上单调递增.

2．已知函数.

(1)计算的值；

(2)解关于的不等式：.

【答案】(1)1(2)答案见解析.

(1)，

.

(2),

令，

由，

任取，则

因为函数在上是增函数，且，所以.又.

所以，即，所以函数在上单调递增.

等价于，

即

故当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为.